Комбинированные задания для подготовки к экзаменам.8. Решите систему
i
Решите систему
Решение.
Решим уравнение Чтобы левая часть равнялась единице, показатель степени должен быть равен нулю, или основание должно быть равно единице. Рассмотрим эти случаи:
Исходная система равносильна следующей:
Решим уравнение Уйдём от переменного основания:
Заметим, что число 4 — решение, докажем, что оно единственное. Построим график левой и правой частей. Рассмотрим промежуток Левая часть монотонно убывает, а правая — монотонно возрастает, значит, на этом промежутке может быть не более одного решения. Это решение — число 4. Теперь рассмотрим промежуток Левая часть монотонно убывает, а правая — монотонно возрастает. Но решений на этом промежутке не будет, так как правая часть лежит в первой четверти, а левая — в четвертой. Итак, ответом к системе будет пара чисел (4; 2).
Чтобы левая часть равнялась единице, показатель степени должен быть равен нулю, или основание должно быть равно единице. Рассмотрим эти случаи:
Уйдём от переменного основания:
Левая часть монотонно убывает, а правая — монотонно возрастает, значит, на этом промежутке может быть не более одного решения. Это решение — число 4. Теперь рассмотрим промежуток 
Левая часть монотонно убывает, а правая — монотонно возрастает. Но решений на этом промежутке не будет, так как правая часть лежит в первой четверти, а левая — в четвертой. Итак, ответом к системе будет пара чисел (4; 2).
