Определите, при каких значениях параметра равносильны системы
и
Перепишем второе уравнение первой системы в виде 
Тогда первое уравнение этой же системы преобразуется в уравнение 
Отсюда следует, что при 
первая система несовместна. Как легко видеть, несовместной при будет и вторая система. Таким образом, при обе системы будут равносильны.
Пусть теперь 
Тогда первая система имеет единственное решение. Поэтому для равносильности этих систем необходимо, чтобы вторая система также имела единственное решение.
Покажем, что такое решение вторая система действительно имеет. Предварительно заметим, что если 
— также решение второй системы. Поэтому необходимым условием существования единственного решения у второй системы является условие 
При 
вторая система принимает вид:
Эта система совместна при 
и 
Таким образом, искомое значение параметра а может принадлежать только множеству 
При первая система переписывается в виде:
Так как 
то необходимое условие существования у этой системы требуемого единственного решения не выполняется.
При 
первая система записывается в виде:
Эта система имеет единственное решение
При она принимает вид:
и имеет два решения и То есть при системы не равносильны.
При 
первая система принимает вид:
и имеет единственное решение
Подставим теперь во вторую систему:
она имеет единственное решение
Таким образом, при системы равносильны.
Ответ: 
Приведем другое решение.
Из первой системы получим, что 
эта система при таком значении параметра не имеет решений:
Подставим во 2-ю систему:
Итак, при обе системы не имеют решений. При прочих a:
Заметим, что первое уравнение второй системы сводится к 
правая часть неотрицательна при 
и 
Используя 
и 
рассмотрим, при каких a это достигается:
Преобразуем второе уравнение второй системы, а затем подставим в него значения x y, выраженные через a:
При решениями обеих систем являются числа 
при — числа 
значение параметра 
нам не подходит, так как разнятся корни систем.
Ответ: 
и 
и 
и 
Наверх