Логарифмические уравнения, неравенства, системы.49. Уравнения с параметром
i
Решите уравнение с параметром
Решение.
Заметим, что промежутки монотонности функции совпадают с промежутками монотонности функции Поэтому на луче функция f монотонно возрастает, на луче — монотонно убывает, в точке 1 принимает наибольшее значение, равное 2, на ±∞ функция f стремится к 0, оставаясь положительной. Построим график f (см. рис.).
Пусть Из графика видно, что если или то уравнение не имеет решений, если то если уравнение имеет два решения. Найдем их:
Вернемся к параметру а. Исходное уравнение имеет единственное решение если
Исходное уравнение не имеет решений, если
При прочих а исходное уравнение имеет два различных решения:
совпадают с промежутками монотонности функции 
Поэтому на луче 
функция f монотонно возрастает, на луче 
— монотонно убывает, в точке 1 принимает наибольшее значение, равное 2, на ±∞ функция f стремится к 0, оставаясь положительной. Построим график f (см. рис.). 
Из графика видно, что если 
или 
то уравнение не имеет решений, если 
то 
если 
уравнение имеет два решения. Найдем их:
или 
{1},
при 