РЕШУ УРОК: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 12 № 1759 Добавить в вариант

Показательные выражения, уравнения, неравенства, системы.42. Системы (задания вступительных экзаменов)

Решите систему (задания вступительных экзаменов) $система выражений новая строка x в степени левая круглая скобка y правая круглая скобка =y в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка , новая строка x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка =y в степени левая круглая скобка 6 правая круглая скобка конец системы ..$

Решение.

Чтобы не рассматривать случаи $x больше 0, y больше 0; x больше 0, y=0, x больше 0, y меньше 0, x=0, y больше 0$ и т. д. перейдем к следствию  — возведем первое уравнение в четвертую степень  — и подставим вместо $x в степени 4$ величину $y в степени 6 :$

$система выражений x в степени y =y в степени x ,x в степени 4 =y в степени 6 конец системы . равносильно система выражений x в степени левая круглая скобка 4y правая круглая скобка =y в степени левая круглая скобка 4x правая круглая скобка ,x в степени 4 =y в степени 6 конец системы . равносильно система выражений левая круглая скобка x в степени 4 правая круглая скобка в степени y =y в степени левая круглая скобка 4x правая круглая скобка , x в степени 4 =y в степени 6 конец системы . равносильно система выражений y в степени левая круглая скобка 6x правая круглая скобка =y в степени левая круглая скобка 4x правая круглая скобка ,x в степени 4 =y в степени 6 . конец системы .$

Из уравнения $y в степени левая круглая скобка 6y правая круглая скобка =y в степени левая круглая скобка 4x правая круглая скобка$ получаем, что:

1)  если $y=1,$ то

$система выражений 1 в степени 6 =1 в степени левая круглая скобка 4x правая круглая скобка ,x в степени 4 =1 в степени 6 , y=1 конец системы . равносильно система выражений y=1, x в степени 4 =1 конец системы . равносильно совокупность выражений система выражений x=1,y=1, конец системы . система выражений x= минус 1,y=1. конец системы . конец совокупности .$

2)  если $y больше 0, y не равно 1,$ то

$система выражений 4x=6y,x в степени 4 =y в степени 6 конец системы . равносильно система выражений x= дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби y, дробь: числитель: 81, знаменатель: 16 конец дроби y в степени 4 =y в степени 6 конец системы . равносильно система выражений x= дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби y,y в квадрате = дробь: числитель: 81, знаменатель: 16 конец дроби конец системы . равносильно система выражений x= дробь: числитель: 27, знаменатель: 8 конец дроби ,y= дробь: числитель: 9, знаменатель: 4 конец дроби . конец системы .$

3)  если $y=0,$ то $x в степени 4 =0,$ но $0 в степени 0$ не определено и решений нет.

4)  если y=-1, то

$система выражений левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 6 умножить на левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка = левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 4x правая круглая скобка ,x в степени 4 = левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в степени 6 , y= минус 1 конец системы . равносильно система выражений 1=1,4x — целое, x в степени 4 =1, y= минус 1 конец системы . равносильно система выражений совокупность выражений x=1,x= минус 1 конец системы . y= минус 1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений x=1,y= минус 1, конец системы . система выражений x= минус 1,y= минус 1. конец системы . конец совокупности .$ $система выражений левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 6 умножить на левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка = левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 4x правая круглая скобка ,x в степени 4 = левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в степени 6 , y= минус 1 конец системы . равносильно система выражений 1=1,4x — целое, x в степени 4 =1, y= минус 1 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений x=1,x= минус 1 конец системы . y= минус 1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений x=1,y= минус 1, конец системы . система выражений x= минус 1,y= минус 1. конец системы . конец совокупности .$

5)  если $y меньше 0,y не равно 1,$ то

$система выражений 4x=6y,4x,6y принадлежит Z , x в степени 4 =y в степени 6 , y меньше 0, y не равно минус 1 конец системы . равносильно система выражений x= дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби y,4x,6y принадлежит Z , дробь: числитель: 81, знаменатель: 16 конец дроби y в степени 4 =y в степени 6 , y меньше 0,y не равно 1 конец системы . равносильно система выражений x= дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби y,4x, 6y принадлежит Z , y в квадрате = дробь: числитель: 81, знаменатель: 16 конец дроби , y меньше 0, y не равно 1 конец системы . равносильно система выражений x= минус дробь: числитель: 27, знаменатель: 8 конец дроби ,y= минус дробь: числитель: 9, знаменатель: 4 конец дроби , 4x,6y принадлежит Z . конец системы .$

Эта система не имеет решений, так как 4x и 6y нецелые.

Итак, решение системы  — следующие пары:

$левая круглая скобка 1;1 правая круглая скобка , левая круглая скобка минус 1;1 правая круглая скобка , левая круглая скобка дробь: числитель: 27, знаменатель: 8 конец дроби ; дробь: числитель: 9, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка , левая круглая скобка 1; минус 1 правая круглая скобка , левая круглая скобка минус 1; минус 1 правая круглая скобка ,$

их необходимо проверить подстановкой (что нетрудно), либо дополнить решения условием равносильности. Для возведения обеих частей уравнения в четвертую степень условие равносильности  — совпадение знаков левой и правой части, то есть величин $x в степени y$ и $y в степени x .$ Ясно, что эти знаки совпадают для пар $левая круглая скобка 1;1 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка дробь: числитель: 27, знаменатель: 8 конец дроби ; дробь: числитель: 9, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка$ и $левая круглая скобка минус 1; минус 1 правая круглая скобка .$

Ответ: $левая фигурная скобка левая круглая скобка 1;1 правая круглая скобка , левая круглая скобка минус 1; минус 1 правая круглая скобка , левая круглая скобка дробь: числитель: 27, знаменатель: 8 конец дроби ; дробь: числитель: 9, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка правая фигурная скобка .$

Аналоги к заданию № 1759: 1760 Все

РешениеСпрятать решение · Помощь

Тип 12 № 1760 Добавить в вариант

Показательные выражения, уравнения, неравенства, системы.42. Системы (задания вступительных экзаменов)

Решите систему (задания вступительных экзаменов) $система выражений новая строка xy=y в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка , новая строка x в кубе =y в квадрате конец системы ..$

Решение.

Ответ: $левая фигурная скобка левая круглая скобка 1;1 правая круглая скобка , левая круглая скобка 1; минус 1 правая круглая скобка , левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби ; левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка правая круглая скобка ; левая круглая скобка 1;1 правая круглая скобка правая фигурная скобка .$

Аналоги к заданию № 1759: 1760 Все

РешениеСпрятать решение · Помощь

Наверх

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе