Тип 12 № 1689 
Показательные выражения, уравнения, неравенства, системы.34. Определите, при каких значениях параметра
i
Определите, при каких значениях параметра уравнение 
имеет ровно один корень.
Решение. Заметим, что уравнение сводится к совокупности двух уравнений 
и 
совпадающих при 
и имеющих при этом решение. Кроме этого случая уравнение имеет единственное решение в случаях
или
Ответ: 
Приведем решение в общем виде.
Пусть 
тогда 
Чтобы исходное уравнение имело ровно один корень, полученное уравнение должно иметь:
− единственный корень, который положителен (случай 1);
− два корня, один из которых положительный, а второй отрицательный (случай 2);
− два корня, один из которых положительный, а второй равен нулю (случай 3).
Случай 1. Дискриминант квадратного уравнения должен быть равен нулю:
Тогда 
что соответствует условию положительности корня.
Случай 2. Пусть 
тогда 
т. е. 
откуда 
Случай 3. Необходимо и достаточно выполнения системы 
откуда
Объединяя рассмотренные случаи, находим: 
и 
Ответ:
Ответ: 
имеет ровно один корень.