Иррациональные уравнения, неравенства, системы.42. Уравнения с параметром (задания вступительных экзаменов)
i
Решите уравнение с параметром (задания вступительных экзаменов)
Решение.
Сразу отметим, что и При этих условиях можно возвести в квадрат:
Значит, в частности При этом условии можно возвести в квадрат еще раз:
Отметим, что если то и То есть корни уравнения зачастую должны подходить, нужно только проверять всякие условия возведения в квадрат и совпадения знаков. Это порождает догадку: возможно, одним из множителей многочлена будет Проверим ее:
Выясним, какие корни у уравнений и и какие из них подходят в исходное уравнение. Начнем со второго:
при этом и Значит, только может подходить в уравнение. Оно является корнем при Получилось любопытно: мы нашли этот множитель из соображений, что его корни часто будут корнями исходного уравнения, а оказалось, что этого почти никогда не происходит. Но это неважно, так как разложение уже есть:
при Итак, неотрицательные корни этого уравнения действительно подходят в исходное.
Дискриминант этого уравнения равен поэтому при корней нет. Пусть теперь тогда Ясно, что и не подходит точно.
и 
При этих условиях можно возвести в квадрат:
в частности 
При этом условии можно возвести в квадрат еще раз:
то 
и 
То есть корни уравнения 
будет 
Проверим ее:
и 
и какие из них подходят в исходное уравнение. Начнем со второго:
и 
Значит, только 
может подходить в уравнение. Оно является корнем при 
Получилось любопытно: мы нашли этот множитель из соображений, что его корни часто будут корнями исходного уравнения, а оказалось, что этого почти никогда не происходит. Но это неважно, так как разложение уже есть:
поэтому при 
корней нет. Пусть теперь 
тогда
Ясно, что 
и не подходит точно.
при 
при 
при 
при 