Решите уравнение домножением на сопряжённое выражение 
Домножим части уравнения на сумму слагаемых левой части, тем самым перейдя к следствию:
Сложим исходное уравнение и уравнение (⁎), получим:
Полученные корни необходимо проверить подстановкой, но иррациональные корни проверять затруднительно, поэтому необходимо дополнить решение условиями равносильных преобразований. \
Посторонние корни при данном ходе решения могли появится по четырем причинам: из-за умножения на 0 в первом шаге (1), из-за перехода к следствию при возведении в квадрат (2), из-за того, что корни суммы исходного уравнения и уравнения (⁎) не являются корнями этих уравнений по отдельности (3), а также из-за расширения ОДЗ (4) при получении корня 
Рассмотрим эти причины.
Умножение обеих частей уравнения на сумму неотрицательных выражений может быть умножением на 0, но только тогда, когда оба этих выражения равны нулю. Однако подкоренное выражение 
положительно при всех значениях переменной. Таким образом, в результате (1) посторонних корней появится не могло.
Преобразование (2) равносильно при условии неотрицательности правой части уравнения, то есть при 
Этому условию удовлетворяют оба найденных корня.
Преобразование (3) состояло в сложении уравнений, заменим его равносильным преобразованием. Для этого можно либо сохранить одно из уравнений системы, либо перейти к системе, содержащей не только сумму, но и разность уравнений исходной системы. В последнем случае получаем:
Тем самым найденный ранее корень 
является посторонним.
Преобразование (4) состояло в том, мы заменили уравнение
двумя уравнениями: 
и
Решение уравнения 
может не лежать в области определения исходного уравнения. Найденное решение 
нетрудно проверить подстановкой в исходное уравнение. Оно обращает уравнение в верное равенство.
Ответ: 
Примечания.
1. Если бы вместо рационального корня 
при указанном способе решения был получен иррациональный корень, проверка которого подстановкой была бы затруднительна, в дополнение к приведенным рассуждениям требовалось бы найти область определения уравнения и проверить, лежит ли в ней найденный корень.
2. Ответьте на вопрос. Пусть решающий нашел не сумму исходного уравнения и уравнения (⁎), а их разность — уравнение 
возвел обе части уравнения в квадрат при условии 
и получил при данном условии единственный корень 
Можно ли найденный корень сразу записать в ответ без дополнительной проверки? Правильный ответ: нет. Как и в приведенном выше решении, необходима либо проверка подстановкой (если она возможна), либо равносильные преобразования исходного уравнения и полученного уравнения-следствия.
Наверх