РЕШУ УРОК — алгебра

Задания

Тип 9 № 807 Добавить в вариант

Выражения, содержащие знак абсолютной величины.15. Решите неравенство, введя соответствующую замену

Решите неравенство, введя соответствующую замену $2\left| дробь: числитель: 3x минус 2, знаменатель: x минус 1 конец дроби плюс дробь: числитель: 4x минус 1, знаменатель: 3x конец дроби | в квадрате меньше 3\left| дробь: числитель: 3x минус 2, знаменатель: x минус 1 конец дроби минус дробь: числитель: 1 минус 4x, знаменатель: 3x конец дроби |.$

Решение. Заметим, что

$\left| дробь: числитель: 3x минус 2, знаменатель: x минус 1 конец дроби минус дробь: числитель: 1 минус 4x, знаменатель: 3x конец дроби | =\left| дробь: числитель: 3x минус 2, знаменатель: x минус 1 конец дроби плюс дробь: числитель: 4x минус 1, знаменатель: 3x конец дроби |.$

Пусть полученное выражение равно t, тогда

$2t в квадрате меньше 3t равносильно t левая круглая скобка 2t минус 3 правая круглая скобка меньше 0 равносильно 0 меньше t меньше дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби .$

Вернёмся к исходной переменной:

$система выражений \left| дробь: числитель: 3x минус 2, знаменатель: x минус 1 конец дроби плюс дробь: числитель: 4x минус 1, знаменатель: 3x конец дроби | больше 0,\left| дробь: числитель: 3x минус 2, знаменатель: x минус 1 конец дроби плюс дробь: числитель: 4x минус 1, знаменатель: 3x конец дроби | меньше дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби конец системы . равносильно система выражений дробь: числитель: 3x минус 2, знаменатель: x минус 1 конец дроби плюс дробь: числитель: 4x минус 1, знаменатель: 3x конец дроби больше минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби , дробь: числитель: 3x минус 2, знаменатель: x минус 1 конец дроби плюс дробь: числитель: 4x минус 1, знаменатель: 3x конец дроби меньше дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби конец системы . равносильно система выражений дробь: числитель: 35x в квадрате минус 31x плюс 2, знаменатель: 6x левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка конец дроби больше 0, дробь: числитель: 17x в квадрате минус 13x плюс 2, знаменатель: 6x левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка конец дроби меньше 0. конец системы .$ $система выражений \left| дробь: числитель: 3x минус 2, знаменатель: x минус 1 конец дроби плюс дробь: числитель: 4x минус 1, знаменатель: 3x конец дроби | больше 0,\left| дробь: числитель: 3x минус 2, знаменатель: x минус 1 конец дроби плюс дробь: числитель: 4x минус 1, знаменатель: 3x конец дроби | меньше дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: 3x минус 2, знаменатель: x минус 1 конец дроби плюс дробь: числитель: 4x минус 1, знаменатель: 3x конец дроби больше минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби , дробь: числитель: 3x минус 2, знаменатель: x минус 1 конец дроби плюс дробь: числитель: 4x минус 1, знаменатель: 3x конец дроби меньше дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби конец системы . равносильно система выражений дробь: числитель: 35x в квадрате минус 31x плюс 2, знаменатель: 6x левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка конец дроби больше 0, дробь: числитель: 17x в квадрате минус 13x плюс 2, знаменатель: 6x левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка конец дроби меньше 0. конец системы .$ $система выражений \left| дробь: числитель: 3x минус 2, знаменатель: x минус 1 конец дроби плюс дробь: числитель: 4x минус 1, знаменатель: 3x конец дроби | больше 0,\left| дробь: числитель: 3x минус 2, знаменатель: x минус 1 конец дроби плюс дробь: числитель: 4x минус 1, знаменатель: 3x конец дроби | меньше дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: 3x минус 2, знаменатель: x минус 1 конец дроби плюс дробь: числитель: 4x минус 1, знаменатель: 3x конец дроби больше минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби , дробь: числитель: 3x минус 2, знаменатель: x минус 1 конец дроби плюс дробь: числитель: 4x минус 1, знаменатель: 3x конец дроби меньше дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: 35x в квадрате минус 31x плюс 2, знаменатель: 6x левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка конец дроби больше 0, дробь: числитель: 17x в квадрате минус 13x плюс 2, знаменатель: 6x левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка конец дроби меньше 0. конец системы .$

Корни числителя первой дроби: $x= дробь: числитель: 31\pm корень из: начало аргумента: 681 конец аргумента , знаменатель: 70 конец дроби ,$ корни знаменателя первой дроби, второй  — $x= дробь: числитель: 13\pm корень из: начало аргумента: 33 конец аргумента , знаменатель: 34 конец дроби .$ Корни знаменателей обеих дробей совпадают, это числа $x=0$ и $x=1.$ Сравним соответствующие корни:

$2 умножить на 34 умножить на 144 корень из: начало аргумента: 681 конец аргумента больше минус 646272 равносильно 144 в квадрате плюс 2 умножить на 34 умножить на 144 корень из: начало аргумента: 681 конец аргумента плюс 34 в квадрате умножить на 681 больше 4900 умножить на 33 равносильно$ $2 умножить на 34 умножить на 144 корень из: начало аргумента: 681 конец аргумента больше минус 646272 равносильно$
$равносильно 144 в квадрате плюс 2 умножить на 34 умножить на 144 корень из: начало аргумента: 681 конец аргумента плюс 34 в квадрате умножить на 681 больше 4900 умножить на 33 равносильно$

$1054 плюс 34 корень из: начало аргумента: 681 конец аргумента больше 910 плюс 70 корень из: начало аргумента: 33 конец аргумента равносильно дробь: числитель: 31 плюс корень из: начало аргумента: 681 конец аргумента , знаменатель: 70 конец дроби больше дробь: числитель: 13 плюс корень из: начало аргумента: 33 конец аргумента , знаменатель: 34 конец дроби ,$

$20160 корень из: начало аргумента: 33 конец аргумента меньше 764190 равносильно 144 в квадрате плюс 2 умножить на 70 умножить на 144 корень из: начало аргумента: 33 конец аргумента равносильно 144 плюс 70 корень из: начало аргумента: 33 конец аргумента меньше 34 корень из: начало аргумента: 681 конец аргумента равносильно$ $20160 корень из: начало аргумента: 33 конец аргумента меньше 764190 равносильно 144 в квадрате плюс 2 умножить на 70 умножить на 144 корень из: начало аргумента: 33 конец аргумента равносильно$
$равносильно 144 плюс 70 корень из: начало аргумента: 33 конец аргумента меньше 34 корень из: начало аргумента: 681 конец аргумента равносильно$

$равносильно 34 умножить на 31 минус 34 корень из: начало аргумента: 681 конец аргумента меньше 70 умножить на 13 минус 70 корень из: начало аргумента: 33 конец аргумента равносильно дробь: числитель: 31 минус корень из: начало аргумента: 681 конец аргумента , знаменатель: 70 конец дроби меньше дробь: числитель: 13 минус корень из: начало аргумента: 33 конец аргумента , знаменатель: 34 конец дроби .$

Методом интервалов получаем ответ (см. рис.).

Ответ: $левая квадратная скобка дробь: числитель: 31 минус корень из: начало аргумента: 681 конец аргумента , знаменатель: 70 конец дроби ; дробь: числитель: 13 минус корень из: начало аргумента: 33 конец аргумента , знаменатель: 34 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка дробь: числитель: 13 плюс корень из: начало аргумента: 33 конец аргумента , знаменатель: 34 конец дроби ; дробь: числитель: 31 плюс корень из: начало аргумента: 681 конец аргумента , знаменатель: 70 конец дроби правая квадратная скобка .$

Ответ: $левая круглая скобка дробь: числитель: 31 минус корень из: начало аргумента: 681 конец аргумента , знаменатель: 70 конец дроби ; . дробь: числитель: 11 минус корень из: начало аргумента: 69 конец аргумента , знаменатель: 26 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 11 минус корень из: начало аргумента: 69 конец аргумента , знаменатель: 26 конец дроби ; дробь: числитель: 13 минус корень из: начало аргумента: 33 конец аргумента , знаменатель: 34 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 13 плюс корень из: начало аргумента: 33 конец аргумента , знаменатель: 34 конец дроби ; дробь: числитель: 11 плюс корень из: начало аргумента: 69 конец аргумента , знаменатель: 26 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 11 плюс корень из: начало аргумента: 69 конец аргумента , знаменатель: 26 конец дроби ; дробь: числитель: 31 плюс корень из: начало аргумента: 681 конец аргумента , знаменатель: 70 конец дроби правая круглая скобка ..$

807

$левая квадратная скобка дробь: числитель: 31 минус корень из: начало аргумента: 681 конец аргумента , знаменатель: 70 конец дроби ; дробь: числитель: 13 минус корень из: начало аргумента: 33 конец аргумента , знаменатель: 34 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка дробь: числитель: 13 плюс корень из: начало аргумента: 33 конец аргумента , знаменатель: 34 конец дроби ; дробь: числитель: 31 плюс корень из: начало аргумента: 681 конец аргумента , знаменатель: 70 конец дроби правая квадратная скобка .$

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	807	$левая квадратная скобка дробь: числитель: 31 минус корень из: начало аргумента: 681 конец аргумента , знаменатель: 70 конец дроби ; дробь: числитель: 13 минус корень из: начало аргумента: 33 конец аргумента , знаменатель: 34 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка дробь: числитель: 13 плюс корень из: начало аргумента: 33 конец аргумента , знаменатель: 34 конец дроби ; дробь: числитель: 31 плюс корень из: начало аргумента: 681 конец аргумента , знаменатель: 70 конец дроби правая квадратная скобка .$ Ответ: $левая круглая скобка дробь: числитель: 31 минус корень из: начало аргумента: 681 конец аргумента , знаменатель: 70 конец дроби ; . дробь: числитель: 11 минус корень из: начало аргумента: 69 конец аргумента , знаменатель: 26 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 11 минус корень из: начало аргумента: 69 конец аргумента , знаменатель: 26 конец дроби ; дробь: числитель: 13 минус корень из: начало аргумента: 33 конец аргумента , знаменатель: 34 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 13 плюс корень из: начало аргумента: 33 конец аргумента , знаменатель: 34 конец дроби ; дробь: числитель: 11 плюс корень из: начало аргумента: 69 конец аргумента , знаменатель: 26 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 11 плюс корень из: начало аргумента: 69 конец аргумента , знаменатель: 26 конец дроби ; дробь: числитель: 31 плюс корень из: начало аргумента: 681 конец аргумента , знаменатель: 70 конец дроби правая круглая скобка ..$