РЕШУ УРОК — алгебра

Задания

Тип 27 № 8061 Добавить в вариант

Иррациональные числа. 2. Задачи на сравнение чисел

Сумма неотрицательных чисел a, b и с равна 2. Найдите наименьшее значение выражения $a в квадрате плюс b в квадрате плюс c в квадрате минус 7 левая круглая скобка a b плюс b c плюс c a правая круглая скобка .$

Решение. По условию $a плюс b плюс c=2,$ откуда находим

$a в квадрате плюс b в квадрате плюс c в квадрате = левая круглая скобка a плюс b плюс c правая круглая скобка в квадрате минус 2 левая круглая скобка a b плюс b c плюс c a правая круглая скобка = 4 минус 2 левая круглая скобка a b плюс b c плюс c a правая круглая скобка .$

Обозначим выражение из условия S, тогда

$S = a в квадрате плюс b в квадрате плюс c в квадрате минус 7 левая круглая скобка a b плюс b c плюс c a правая круглая скобка = 4 минус 9 левая круглая скобка a b плюс b c плюс c a правая круглая скобка .$

Применим методом Штурма. Пусть $b больше a,$ докажем, что $ab меньше левая круглая скобка a плюс x правая круглая скобка левая круглая скобка b минус x правая круглая скобка ,$ где $0 меньше x меньше или равно дробь: числитель: b минус a, знаменатель: 2 конец дроби .$ Имеем:

$a b меньше a b плюс x левая круглая скобка b минус a правая круглая скобка минус x в квадрате равносильно x левая круглая скобка b минус a правая круглая скобка больше x в квадрате равносильно x меньше b минус a,$

что верно, так как $x меньше или равно дробь: числитель: b минус a, знаменатель: 2 конец дроби .$ Рассмотрим сумму

$a b плюс b c плюс c a=c левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка плюс ab = левая круглая скобка 1 минус левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка плюс ab.$

Отметим, что если $a плюс b = \text const,$ а произведение ab увеличивается, то и вся сумма увеличится.

Пусть не все числа a, b и с изначально равны $дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби ,$ тогда среди них найдется число большее $дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби$ и число меньшее $дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби .$ Заменим их на два числа с такой же суммой, чтобы то из них, которое ближе к 2/3, стало равно $2 / 3.$ Если два оставшихся числа не равны $2 / 3,$ то и их заменим на два числа, равных $2 / 3$ (если одно станет $2 / 3,$ то и оставшееся станет равно $2 / 3,$ так как сумма всех трех чисел равна 2).

Таким образом, для любых неотрицательных числе a, b и c таких, что они не все они равны между собой, значение $a b плюс b c плюс c a$ меньше, чем если все числа равны. А потому,

$S меньше или равно 4 минус 9 умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби умножить на дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби умножить на дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби умножить на дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка = 4 минус 12= минус 8.$

Ответ: −8.

8061

−8.

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	8061	−8.