Ре­ше­ние.

Идея до­ка­за­тель­ства в том, что ука­зан­ным спо­со­бом из урав­не­ния вида по­лу­ча­ет­ся урав­не­ние

в ко­то­ром пер­вая скоб­ка эк­ви­ва­лент­на ис­ход­но­му урав­не­нию, а вто­рая может яв­лять­ся ис­точ­ни­ком по­сто­рон­них кор­ней.

В самом деле, пусть тогда

Под­став­ляя по­лу­ча­ем:

Из­вест­на по­лез­ная фор­му­ла, ко­то­рая без труда про­ве­ря­ет­ся рас­кры­ти­ем ско­бок:

За­ме­тим, что:

Сле­до­ва­тель­но,

Оста­лось вы­яс­нить, при каких зна­че­ни­ях сумма квад­ра­тов об­ра­ща­ет­ся в нуль:

Итак, ис­точ­ни­ком по­сто­рон­них кор­ней яв­ля­ют­ся ре­ше­ния си­сте­мы

При­ме­ча­ние.

Стоит за­пом­нить, что:

На­при­мер, из вто­рой фор­му­лы сле­ду­ет, что мно­го­член де­лит­ся на а пер­вая фор­му­ла по­мо­жет в такой за­да­че:

За­да­ча. Из­вест­но, что урав­не­ние имеет три корня Най­ди­те

Ре­ше­ние. По тео­ре­ме Виета Так как имеет место фор­му­ла

в пра­вая часть ко­то­рой равна нулю, то

При­ме­ча­ние. Кому не очень нра­вит­ся, что нуж­ная фор­му­ла по­яви­лась в го­то­вом виде, может по­ка­зать­ся пре­крас­ным пря­мое рас­суж­де­ние.

Пусть тогда

Под­став­ляя по­лу­ча­ем: