PDF-версии: Тип 26 № 5283 
Целые числа, делимость, уравнения в целых числах. 1. Признаки делимости, сократимость, последняя цифра
i
Докажите, что нечётные степени числа 10, сложенные с 1, делятся на 11.
Решение. Первая степень 10, сложенная с 1, дает 11 и, тем самым, делится на 11. Остальные нечетные степени можно записать в виде 102n + 1 + 1 для натуральных n. Это число записывается в виде 100...01, где в записи 2n нулей. Вычтем из этого числа 11, получим число, 99...90, в записи которого 2n девяток, а последняя цифра — нуль. это число делится на 11, получается 9090...90 — число, записанное при помощи 2n − 1 пар «10». Поскольку разность исходного числа и 11 делится на 11, исходное число также делится на 11.Что и требовалось доказать.