РЕШУ УРОК — алгебра

Задания

Тип 24 № 4833 Добавить в вариант

Комбинированные задания для подготовки к экзаменам.14. Найдите все значения параметра a, при которых

Найдите все значения параметра a, при которых Найдите все значения параметра a, при которых уравнение $корень из: начало аргумента: 4x минус 3 конец аргумента натуральный логарифм левая круглая скобка 2x минус a правая круглая скобка = корень из: начало аргумента: 4x минус 3 конец аргумента натуральный логарифм левая круглая скобка 3x плюс a правая круглая скобка$ имеет ровно один корень на $левая квадратная скобка 0; 1 правая квадратная скобка .$

Решение. Запишем уравнение в виде $корень из: начало аргумента: 4x минус 3 конец аргумента левая круглая скобка \ln левая круглая скобка 2x минус a правая круглая скобка минус \ln левая круглая скобка 3x плюс a правая круглая скобка правая круглая скобка =0$ и рассмотрим два случая.

Первый случай: $корень из: начало аргумента: 4x минус 3 конец аргумента =0 равносильно x= дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби .$ этот корень лежит на отрезке [0;1]. Остается проверить условия:

$система выражений 2x минус a больше 0,3x плюс a больше 0. конец системы .$

То есть если

$система выражений дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби минус a больше 0, дробь: числитель: 9, знаменатель: 4 конец дроби плюс a больше 0. конец системы . равносильно минус дробь: числитель: 9, знаменатель: 4 конец дроби меньше a меньше дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби .$

Второй случай:

$система выражений \ln левая круглая скобка 2x минус a правая круглая скобка минус \ln левая круглая скобка 3x плюс a правая круглая скобка =0,4x минус 3\geqslant0 конец системы . равносильно система выражений 2x минус a=3x плюс a,2x минус a больше 0, 4x минус 3\geqslant0 конец системы . равносильно система выражений x= минус 2a, минус 5a больше 0, минус 8a минус 3\geqslant0 конец системы . равносильно система выражений x= минус 2a, a\leqslant минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 8 конец дроби . конец системы .$ $система выражений \ln левая круглая скобка 2x минус a правая круглая скобка минус \ln левая круглая скобка 3x плюс a правая круглая скобка =0,4x минус 3\geqslant0 конец системы . равносильно система выражений 2x минус a=3x плюс a,2x минус a больше 0, 4x минус 3\geqslant0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x= минус 2a, минус 5a больше 0, минус 8a минус 3\geqslant0 конец системы . равносильно система выражений x= минус 2a, a\leqslant минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 8 конец дроби . конец системы .$ $система выражений \ln левая круглая скобка 2x минус a правая круглая скобка минус \ln левая круглая скобка 3x плюс a правая круглая скобка =0,4x минус 3\geqslant0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений 2x минус a=3x плюс a,2x минус a больше 0, 4x минус 3\geqslant0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x= минус 2a, минус 5a больше 0, минус 8a минус 3\geqslant0 конец системы . равносильно система выражений x= минус 2a, a\leqslant минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 8 конец дроби . конец системы .$

Корень $минус 2a$ лежит на отрезке [0; 1] при $минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно a меньше или равно 0.$ Для второго случая получаем $минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно a\leqslant минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 8 конец дроби .$

Корни уравнения $x= дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби$ и $x= минус 2a$ совпадают при $a= минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 8 конец дроби .$

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно один корень на отрезке [0; 1] при $минус дробь: числитель: 9, знаменатель: 4 конец дроби меньше a меньше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби$ и $минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 8 конец дроби меньше или равно a меньше дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби .$

Ответ: $минус дробь: числитель: 9, знаменатель: 4 конец дроби меньше a меньше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 8 конец дроби меньше или равно a меньше дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби .$

Ключ