РЕШУ УРОК — алгебра

Задания

Тип 24 № 4824 Добавить в вариант

Комбинированные задания для подготовки к экзаменам.13. Найдите все значения параметра a, при которых

Найдите все значения параметра a, при которых неравенство $|x в квадрате минус 4x плюс a| меньше или равно 10$ выполняется для всех $x принадлежит левая квадратная скобка a,a плюс 5 правая квадратная скобка .$

Решение. Рассмотрим функцию

$f левая круглая скобка x правая круглая скобка = x в квадрате минус 4x плюс a= левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка в квадрате плюс a минус 4.$

Эта функция возрастает на промежутке $левая квадратная скобка 2, плюс бесконечность правая круглая скобка$ и убывает на промежутке $левая круглая скобка минус бесконечность ,2 правая квадратная скобка .$ Исходное неравенство имеет вид $|f левая круглая скобка x правая круглая скобка | меньше или равно 10,$ значит, график функции $у=f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ на отрезке $левая квадратная скобка a,a плюс 5 правая квадратная скобка$ должен находиться в пределах горизонтальной полосы: $минус 10 меньше или равно f левая круглая скобка x правая круглая скобка меньше или равно 10.$

Отрезок $левая квадратная скобка a,a плюс 5 правая квадратная скобка$ не должен лежать на участке монотонности функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,$ иначе приращение $f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ на отрезке длины $5$ будет не меньше $25,$ поэтому ее график не поместится в полосе ширины $20,$ следовательно, $a меньше 2 меньше a плюс 5,$ откуда $минус 3 меньше a меньше 2.$

Наибольшее значение функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ на отрезке $левая квадратная скобка a,a плюс 5 правая квадратная скобка$ достигается либо при $x=a,$ либо при $x=a плюс 5.$ Наименьшее значение функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ на отрезке $левая квадратная скобка a,a плюс 5 правая квадратная скобка$ достигается при $x=2.$ Получаем систему:

$система выражений новая строка минус 3 меньше a меньше 2, новая строка f левая круглая скобка a правая круглая скобка меньше или равно 10, новая строка f левая круглая скобка a плюс 5 правая круглая скобка меньше или равно 10, новая строка f левая круглая скобка 2 правая круглая скобка больше или равно минус 10 конец системы . равносильно система выражений новая строка минус 3 меньше a меньше 2, новая строка левая круглая скобка a минус 2 правая круглая скобка в квадрате плюс a минус 4 меньше или равно 10, новая строка левая круглая скобка a плюс 3 правая круглая скобка в квадрате плюс a минус 4 меньше или равно 10, новая строка a минус 4 больше или равно минус 10 конец системы . равносильно система выражений новая строка минус 3 меньше a меньше 2, новая строка a в квадрате минус 3a минус 10 меньше или равно 0, новая строка a в квадрате плюс 7a минус 5 меньше или равно 0, новая строка a больше или равно минус 6 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка минус 3 меньше a меньше 2, новая строка минус 2 меньше или равно a меньше или равно 5, новая строка \dfrac минус 7 минус корень из: начало аргумента: 69 конец аргумента 2 меньше или равно a меньше или равно \dfrac минус 7 плюс корень из: начало аргумента: 69 конец аргумента 2, новая строка a больше или равно минус 6, конец системы . равносильно минус 2 меньше или равно a меньше или равно дробь: числитель: минус 7 плюс корень из: начало аргумента: 69 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$ $система выражений новая строка минус 3 меньше a меньше 2, новая строка f левая круглая скобка a правая круглая скобка меньше или равно 10, новая строка f левая круглая скобка a плюс 5 правая круглая скобка меньше или равно 10, новая строка f левая круглая скобка 2 правая круглая скобка больше или равно минус 10 конец системы . равносильно система выражений новая строка минус 3 меньше a меньше 2, новая строка левая круглая скобка a минус 2 правая круглая скобка в квадрате плюс a минус 4 меньше или равно 10, новая строка левая круглая скобка a плюс 3 правая круглая скобка в квадрате плюс a минус 4 меньше или равно 10, новая строка a минус 4 больше или равно минус 10 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка минус 3 меньше a меньше 2, новая строка a в квадрате минус 3a минус 10 меньше или равно 0, новая строка a в квадрате плюс 7a минус 5 меньше или равно 0, новая строка a больше или равно минус 6 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка минус 3 меньше a меньше 2, новая строка минус 2 меньше или равно a меньше или равно 5, новая строка \dfrac минус 7 минус корень из: начало аргумента: 69 конец аргумента 2 меньше или равно a меньше или равно \dfrac минус 7 плюс корень из: начало аргумента: 69 конец аргумента 2, новая строка a больше или равно минус 6, конец системы . равносильно минус 2 меньше или равно a меньше или равно дробь: числитель: минус 7 плюс корень из: начало аргумента: 69 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$

Ответ: $минус 2 меньше или равно a меньше или равно дробь: числитель: минус 7 плюс корень из: начало аргумента: 69 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$

Ключ