РЕШУ УРОК — алгебра

Задания

Тип 24 № 4808 Добавить в вариант

Комбинированные задания для подготовки к экзаменам.12. Решите систему неравенств

Решите систему неравенств $система выражений новая строка \log _x левая круглая скобка x в кубе минус 1 правая круглая скобка меньше или равно \log _x левая круглая скобка x в кубе плюс 2x минус 4 правая круглая скобка , новая строка корень из: начало аргумента: 3 умножить на 4 конец аргумента в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 5 умножить на 2 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка плюс 3 больше или равно 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 3 конец системы ..$

Решение. Решим первое неравенство. Заметим, что условие $левая круглая скобка * правая круглая скобка$ будет выполнено при переходе к неравенству, левая и правая части которого  — аргументы логарифма:

$\log _x левая круглая скобка x в кубе минус 1 правая круглая скобка меньше или равно \log _x левая круглая скобка x в кубе плюс 2x минус 4 правая круглая скобка равносильно система выражений x больше 0, x не равно 1, x в кубе минус 1 больше 0, x в кубе плюс 2x минус 4 больше 0 левая круглая скобка * правая круглая скобка , \log _x левая круглая скобка x в кубе минус 1 правая круглая скобка меньше или равно \log _x левая круглая скобка x в кубе плюс 2x минус 4 правая круглая скобка конец системы . равносильно$ $\log _x левая круглая скобка x в кубе минус 1 правая круглая скобка меньше или равно \log _x левая круглая скобка x в кубе плюс 2x минус 4 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно система выражений x больше 0, x не равно 1, x в кубе минус 1 больше 0, x в кубе плюс 2x минус 4 больше 0 левая круглая скобка * правая круглая скобка , \log _x левая круглая скобка x в кубе минус 1 правая круглая скобка меньше или равно \log _x левая круглая скобка x в кубе плюс 2x минус 4 правая круглая скобка конец системы . равносильно$

$равносильно система выражений x больше 1, x не равно 1, x в кубе минус 1 меньше или равно x в кубе плюс 2x минус 4 конец системы . равносильно система выражений x больше 1,x больше или равно дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби конец системы . равносильно x больше или равно дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби .$

Решим второе неравенство. Пусть $2 в степени x =t, t больше 0,$ тогда:

$корень из: начало аргумента: 3t в квадрате минус 5 умножить на 2t плюс 3 конец аргумента больше или равно t минус 3 равносильно совокупность выражений система выражений t минус 3 меньше 0,3t в квадрате минус 10t плюс 3\geqslant0, конец системы . система выражений t минус 3\geqslant0,3t в квадрате минус 10t плюс 3 больше или равно левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка в квадрате конец системы . конец совокупности . равносильно$

$равносильно совокупность выражений система выражений t меньше 3, совокупность выражений t меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ,t\geqslant3, конец системы . конец совокупности . система выражений t\geqslant3,t в квадрате минус 2t минус 3\geqslant0 конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений t меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби , система выражений t\geqslant3, совокупность выражений t\leqslant минус 1,t\geqslant3 конец системы . конец совокупности . конец совокупности . равносильно совокупность выражений t меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ,t\geqslant3. конец совокупности .$

Вернёмся к исходной переменной, учтём решение первого неравенства:

$система выражений x больше или равно дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби , совокупность выражений 2 в степени x \geqslant3,2 в степени x меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби минус не подходит конец системы . конец совокупности . равносильно система выражений x больше или равно дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби ,x больше или равно логарифм по основанию 2 3. конец системы .$

Сравним $дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби$ и $логарифм по основанию 2 3$ : $3 меньше 2 логарифм по основанию 2 3 равносильно логарифм по основанию 2 8 меньше логарифм по основанию 2 9.$ Ясно, что $логарифм по основанию 2 3 больше дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби ,$ значит, $x больше или равно логарифм по основанию 2 3$ − ответ.

Ответ: $левая квадратная скобка \log _23; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

4808

$левая квадратная скобка \log _23; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	4808	$левая квадратная скобка \log _23; плюс бесконечность правая круглая скобка .$