РЕШУ УРОК — алгебра

Задания

Тип 24 № 4804 Добавить в вариант

Комбинированные задания для подготовки к экзаменам.12. Решите систему неравенств

Решите систему неравенств $система выражений новая строка \log _5_ минус _x дробь: числитель: x плюс 4, знаменатель: левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка конец дроби больше или равно минус 10, новая строка x в кубе плюс 8x в квадрате плюс дробь: числитель: 50x в квадрате плюс x минус 7, знаменатель: x минус 7 конец дроби меньше или равно 1. конец системы .$

Решение. Решим первое неравенство:

$логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка дробь: числитель: x плюс 4, знаменатель: левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка конец дроби \geqslant минус 10 равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка минус логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка \geqslant минус 10 равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка \geqslant0.$ $логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка дробь: числитель: x плюс 4, знаменатель: левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка конец дроби \geqslant минус 10 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка минус логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка \geqslant минус 10 равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка \geqslant0.$ $логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка дробь: числитель: x плюс 4, знаменатель: левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка конец дроби \geqslant минус 10 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка минус логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка \geqslant минус 10 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка \geqslant0.$

Рассмотрим два случая. Первый случай: $0 меньше 5 минус x меньше 1.$

$система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка \leqslant0, 0 меньше 5 минус x меньше 1 конец системы равносильно система выражений 0 меньше x плюс 4\leqslant1,4 меньше x меньше 5 конец системы решенийнет.$

Второй случай: $5 минус x больше 1.$ Имеем:

$система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка \leqslant0, 5 минус x больше 1 конец системы равносильно система выражений x плюс 4 больше или равно 1,x меньше 4 конец системы равносильно минус 3 меньше или равно x меньше 4.$

Тем самым решением первого неравенства является полуинтервал $левая квадратная скобка минус 3;4 правая круглая скобка .$

Решим второе неравенство.

$x в кубе плюс 8x в квадрате плюс дробь: числитель: 50x в квадрате плюс x минус 7, знаменатель: x минус 7 конец дроби меньше или равно 1 равносильно x в квадрате левая круглая скобка x плюс 8 правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 50x в квадрате плюс x минус 7 минус левая круглая скобка x минус 7 правая круглая скобка , знаменатель: x минус 7 конец дроби \leqslant0 равносильно$ $x в кубе плюс 8x в квадрате плюс дробь: числитель: 50x в квадрате плюс x минус 7, знаменатель: x минус 7 конец дроби меньше или равно 1 равносильно$
$равносильно x в квадрате левая круглая скобка x плюс 8 правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 50x в квадрате плюс x минус 7 минус левая круглая скобка x минус 7 правая круглая скобка , знаменатель: x минус 7 конец дроби \leqslant0 равносильно$

$равносильно дробь: числитель: x в квадрате левая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 8 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 7 правая круглая скобка плюс 50 правая круглая скобка , знаменатель: x минус 7 конец дроби \leqslant0 равносильно дробь: числитель: x в квадрате левая круглая скобка x в квадрате плюс x минус 6 правая круглая скобка , знаменатель: x минус 7 конец дроби \leqslant0 равносильно дробь: числитель: x в квадрате левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка , знаменатель: x минус 7 конец дроби \leqslant0.$ $равносильно дробь: числитель: x в квадрате левая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 8 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 7 правая круглая скобка плюс 50 правая круглая скобка , знаменатель: x минус 7 конец дроби \leqslant0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: x в квадрате левая круглая скобка x в квадрате плюс x минус 6 правая круглая скобка , знаменатель: x минус 7 конец дроби \leqslant0 равносильно дробь: числитель: x в квадрате левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка , знаменатель: x минус 7 конец дроби \leqslant0.$

Нанесём полученные корни на ось, применим метод интервалов (см. рис.). Очевидно, что ответ к исходной системе − полуинтервал $левая квадратная скобка 2;4 правая круглая скобка$ и точки $левая фигурная скобка минус 3,0 правая фигурная скобка .$

Ответ: $левая фигурная скобка минус 3,0 правая фигурная скобка \cup левая квадратная скобка 2,4 правая круглая скобка .$

4804

$левая фигурная скобка минус 3,0 правая фигурная скобка \cup левая квадратная скобка 2,4 правая круглая скобка .$

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	4804	$левая фигурная скобка минус 3,0 правая фигурная скобка \cup левая квадратная скобка 2,4 правая круглая скобка .$