Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 24 № 4800
i

Ре­ши­те си­сте­му не­ра­венств  си­сте­ма вы­ра­же­ний  новая стро­ка 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 7 умно­жить на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 5 мень­ше или равно 0,  новая стро­ка дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те минус 2x минус 2, зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те минус 2x конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 7x минус 19, зна­ме­на­тель: x минус 3 конец дроби мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 8x плюс 1, зна­ме­на­тель: x конец дроби  конец си­сте­мы ..

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Решим пер­вое не­ра­вен­ство. Пусть 2 в сте­пе­ни x =t, тогда:

 дробь: чис­ли­тель: t в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 7t, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 5\leqslant0 рав­но­силь­но t в квад­ра­те минус 7t плюс 10\leqslant0 рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний t\leqslant5,t\geqslant2. конец си­сте­мы .

Вернёмся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной:

 си­сте­ма вы­ра­же­ний 2 в сте­пе­ни x \leqslant5,2 в сте­пе­ни x \geqslant2 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x мень­ше или равно ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 5,x\geqslant1. конец си­сте­мы .

Таким об­ра­зом, ре­ше­ни­ем пер­во­го не­ра­вен­ства будет от­ре­зок  левая квад­рат­ная скоб­ка 1; ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 5 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Решим вто­рое не­ра­вен­ство:

 дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те минус 2x минус 2, зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те минус 2x конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 7x минус 19, зна­ме­на­тель: x минус 3 конец дроби мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 8x плюс 1, зна­ме­на­тель: x конец дроби рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те минус 2x минус 2 минус левая круг­лая скоб­ка 8x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: x левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 7x минус 19, зна­ме­на­тель: x минус 3 конец дроби \leqslant0 рав­но­силь­но

 

 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: x левая круг­лая скоб­ка минус 7x плюс 13 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: x левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 7x минус 19, зна­ме­на­тель: x минус 3 конец дроби \leqslant0 \undersetx не равно 0\mathop рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка минус 7x плюс 13 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс левая круг­лая скоб­ка 7x минус 19 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби \leqslant0 рав­но­силь­но

 

 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: минус 7x в квад­ра­те плюс 34x минус 39 плюс 7x в квад­ра­те минус 33x плюс 38, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби \leqslant0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: x минус 1, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби \leqslant0.

Нанесём по­лу­чен­ные корни обоих не­ра­венств на оси и при­ме­ним метод ин­тер­ва­лов (см. рис.). Оче­вид­но, что ответ к ис­ход­ной си­сте­ме  — по­лу­ин­тер­вал  левая круг­лая скоб­ка 2; \log _25 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка и число 1.

 

Ответ:  левая фи­гур­ная скоб­ка 1 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 2; \log _25 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .


Аналоги к заданию № 4800: 4801 Все