РЕШУ УРОК — алгебра

Задания

Тип 24 № 3692 Добавить в вариант

Комбинированные задания для подготовки к экзаменам.8. Решите систему

Решите систему $система выражений новая строка \log _\left| y |x в квадрате плюс \log _x в квадрате \left| y |=2, новая строка x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс yx в квадрате =10 плюс y конец системы ..$

Решение. Решим уравнение $\log _\left| y |x в квадрате плюс \log _x в квадрате \left| y |=2.$ Перейдём к основанию x²:

$дробь: числитель: логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка x в квадрате , знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка |y| конец дроби плюс логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка |y|=2 равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка |y| конец дроби плюс логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка |y|=2.$

Пусть $t= логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка |y|,$ тогда:

$дробь: числитель: 1, знаменатель: t конец дроби плюс t=2 равносильно система выражений t в квадрате минус 2t плюс 1=0,t не равно 0 конец системы . равносильно система выражений левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка в квадрате =0,t не равно 0 конец системы . равносильно t=1.$

Вернёмся к исходной переменной:

$логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка |y|=1 равносильно система выражений x в квадрате =|y|,|y| больше 0,\; x в квадрате больше 0,\; x в квадрате не равно 1 конец системы . равносильно система выражений x в квадрате =|y|,y не равно 0,\; x не равно 0,\; x не равно \pm 1. конец системы .$

Исходная система равносильна следующей:

$система выражений x в квадрате левая круглая скобка x в квадрате плюс y правая круглая скобка =10 плюс y,x в квадрате =|y|,y не равно 0,\; x не равно 0,\; x не равно \pm 1 конец системы . равносильно система выражений |y| левая круглая скобка |y| плюс y правая круглая скобка =10 плюс y,x в квадрате =|y|,y не равно 0,\; x не равно 0,\; x не равно \pm 1 конец системы . равносильно система выражений y в квадрате плюс y|y|=10 плюс y,x в квадрате =|y|,y не равно 0,\; x не равно 0,\; x не равно \pm 1. конец системы .$ $система выражений x в квадрате левая круглая скобка x в квадрате плюс y правая круглая скобка =10 плюс y,x в квадрате =|y|,y не равно 0,\; x не равно 0,\; x не равно \pm 1 конец системы . равносильно система выражений |y| левая круглая скобка |y| плюс y правая круглая скобка =10 плюс y,x в квадрате =|y|,y не равно 0,\; x не равно 0,\; x не равно \pm 1 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений y в квадрате плюс y|y|=10 плюс y,x в квадрате =|y|,y не равно 0,\; x не равно 0,\; x не равно \pm 1. конец системы .$

Решим уравнение $y в квадрате плюс y|y|=10 плюс y,$ сняв модуль:

$y в квадрате плюс y|y|=10 плюс y равносильно система выражений y в квадрате плюс y в квадрате минус 10 минус y=0,\; y больше или равно 0,y в квадрате минус y в квадрате минус 10=y,\; y меньше 0 конец системы . равносильно система выражений 2y в квадрате минус y минус 10=0,\; y больше или равно 0,y= минус 10,\; y меньше 0 конец системы . равносильно$ $y в квадрате плюс y|y|=10 плюс y равносильно система выражений y в квадрате плюс y в квадрате минус 10 минус y=0,\; y больше или равно 0,y в квадрате минус y в квадрате минус 10=y,\; y меньше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений 2y в квадрате минус y минус 10=0,\; y больше или равно 0,y= минус 10,\; y меньше 0 конец системы . равносильно$

$равносильно совокупность выражений система выражений совокупность выражений y= минус 2,y= дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби , конец системы . ,y больше или равно 0, конец совокупности . y= минус 10 конец совокупности . равносильно совокупность выражений y= дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби ,y= минус 10. конец совокупности .$

Вернёмся к системе:

$система выражений x в квадрате =|y|, совокупность выражений y= дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби ,y= минус 10, конец системы . y не равно 0,\; x не равно 0,\; x не равно \pm 1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений x в квадрате =|y|,y= дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби , конец системы . система выражений x в квадрате =|y|,y= минус 10 конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений x= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби ,y= дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби , конец системы . система выражений x= минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби ,y= дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби , конец системы . система выражений x= корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента ,y= минус 10, конец системы . система выражений x= минус корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента ,y= минус 10. конец системы конец совокупности .$

Ответ: $левая фигурная скобка левая круглая скобка минус корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента ; минус 10 правая круглая скобка ; левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента ; минус 10 правая круглая скобка ; левая круглая скобка минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 10, знаменатель: конец аргумента конец дроби 2; дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка ; левая круглая скобка дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 10, знаменатель: конец аргумента конец дроби 2; дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка правая фигурная скобка .$

3692

$левая фигурная скобка левая круглая скобка минус корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента ; минус 10 правая круглая скобка ; левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента ; минус 10 правая круглая скобка ; левая круглая скобка минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 10, знаменатель: конец аргумента конец дроби 2; дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка ; левая круглая скобка дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 10, знаменатель: конец аргумента конец дроби 2; дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка правая фигурная скобка .$

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	3692	$левая фигурная скобка левая круглая скобка минус корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента ; минус 10 правая круглая скобка ; левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента ; минус 10 правая круглая скобка ; левая круглая скобка минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 10, знаменатель: конец аргумента конец дроби 2; дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка ; левая круглая скобка дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 10, знаменатель: конец аргумента конец дроби 2; дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка правая фигурная скобка .$