РЕШУ УРОК — алгебра

Задания

Тип 24 № 3678 Добавить в вариант

Комбинированные задания для подготовки к экзаменам.7. Решите уравнение или неравенство

Решите уравнение или неравенство $\log _2 левая круглая скобка 5 косинус 2x минус 2 правая круглая скобка плюс \log _\tfrac12 левая круглая скобка 1 минус 6 синус в квадрате x косинус в квадрате x правая круглая скобка =3.$

Решение. Перейдем к основанию 2, используем формулу синуса двойного угла и основное тригонометрическое тождество. Получаем:

$логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 5 косинус 2x минус 2 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 1 минус 6 синус в квадрате x косинус в квадрате x правая круглая скобка = логарифм по основанию 2 8 равносильно логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 5 косинус 2x минус 2 правая круглая скобка = логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 8 минус 48 синус в квадрате x косинус в квадрате x правая круглая скобка равносильно$
$равносильно система выражений 5 косинус 2x минус 2 больше 0,5 косинус 2x минус 2=8 минус 12 синус в квадрате 2x конец системы . равносильно система выражений косинус 2x больше дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби ,5 косинус 2x=10 минус 12 левая круглая скобка 1 минус косинус в квадрате 2x правая круглая скобка . конец системы .$ $логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 5 косинус 2x минус 2 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 1 минус 6 синус в квадрате x косинус в квадрате x правая круглая скобка = логарифм по основанию 2 8 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 5 косинус 2x минус 2 правая круглая скобка = логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 8 минус 48 синус в квадрате x косинус в квадрате x правая круглая скобка равносильно$
$равносильно система выражений 5 косинус 2x минус 2 больше 0,5 косинус 2x минус 2=8 минус 12 синус в квадрате 2x конец системы . равносильно система выражений косинус 2x больше дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби ,5 косинус 2x=10 минус 12 левая круглая скобка 1 минус косинус в квадрате 2x правая круглая скобка . конец системы .$ $логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 5 косинус 2x минус 2 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 1 минус 6 синус в квадрате x косинус в квадрате x правая круглая скобка = логарифм по основанию 2 8 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 5 косинус 2x минус 2 правая круглая скобка = логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 8 минус 48 синус в квадрате x косинус в квадрате x правая круглая скобка равносильно$
$равносильно система выражений 5 косинус 2x минус 2 больше 0,5 косинус 2x минус 2=8 минус 12 синус в квадрате 2x конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений косинус 2x больше дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби ,5 косинус 2x=10 минус 12 левая круглая скобка 1 минус косинус в квадрате 2x правая круглая скобка . конец системы .$

Пусть $t= косинус 2x,$ решим систему:

$система выражений дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби меньше t меньше или равно 1,5t=12t в квадрате минус 2 конец системы . равносильно система выражений дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби меньше t меньше или равно 1,12t в квадрате минус 5t минус 2=0 конец системы . равносильно система выражений дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби меньше t меньше или равно 1, совокупность выражений t= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби ,t= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби конец системы . конец совокупности . равносильно t= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби .$

Вернемся к исходной переменной:

$косинус 2x= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби равносильно совокупность выражений 2x= арккосинус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k,2x= минус арккосинус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби арккосинус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k,x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби арккосинус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$ $косинус 2x= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби равносильно совокупность выражений 2x= арккосинус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k,2x= минус арккосинус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби арккосинус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k,x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби арккосинус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$

Ответ: $левая фигурная скобка \pm дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби арккосинус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка .$

3678

$левая фигурная скобка \pm дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби арккосинус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка .$

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	3678	$левая фигурная скобка \pm дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби арккосинус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка .$