РЕШУ УРОК — алгебра

Задания

Тип 21 № 3538 Добавить в вариант

Разные задачи. 5. Решите уравнение или систему уравнений, используя классические неравенства

Решите уравнение, используя классические неравенства $3 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка конец аргумента правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: логарифм по основанию левая круглая скобка 2x плюс 1 конец аргумента 3 правая круглая скобка правая круглая скобка = 2x плюс 4.$

Решение. Заметим, что

$логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка конец аргумента правая круглая скобка правая круглая скобка = корень из: начало аргумента: логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка конец аргумента ,$

$логарифм по основанию 3 левая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: логарифм по основанию левая круглая скобка 2x плюс 1 конец аргумента 3 правая круглая скобка правая круглая скобка правая круглая скобка = корень из: начало аргумента: логарифм по основанию левая круглая скобка 2x плюс 1 конец аргумента 3 правая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка = дробь: числитель: логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: корень из: начало аргумента: логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка конец аргумента конец дроби = корень из: начало аргумента: логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка конец аргумента .$ $логарифм по основанию 3 левая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: логарифм по основанию левая круглая скобка 2x плюс 1 конец аргумента 3 правая круглая скобка правая круглая скобка правая круглая скобка = корень из: начало аргумента: логарифм по основанию левая круглая скобка 2x плюс 1 конец аргумента 3 правая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка =$
$= дробь: числитель: логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: корень из: начало аргумента: логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка конец аргумента конец дроби = корень из: начало аргумента: логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка конец аргумента .$

Следовательно, слагаемые, стоящие в левой части уравнения, равны между собой.

Положим $t = логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка ,$ тогда слагаемые в левой части исходного уравнения равны $3 в степени левая круглая скобка корень из t правая круглая скобка ,$ а в правой части $2x плюс 4 = 3 в степени t плюс 3.$ Применяя неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим, получаем:

$2 умножить на 3 в степени левая круглая скобка корень из t правая круглая скобка = 3 в степени t плюс 3 больше или равно 2 корень из: начало аргумента: 3 в степени левая круглая скобка t плюс 1 конец аргумента правая круглая скобка = 2 умножить на 3 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: t плюс 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .$

Тогда

$корень из t больше или равно дробь: числитель: t плюс 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно левая круглая скобка корень из t минус 1 правая круглая скобка в квадрате меньше или равно 0 равносильно t=1.$

Таким образом, $логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка = 1,$ а потому $x=1.$

Ответ: $левая фигурная скобка 1 правая фигурная скобка .$

3538

$левая фигурная скобка 1 правая фигурная скобка .$

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	3538	$левая фигурная скобка 1 правая фигурная скобка .$