РЕШУ УРОК — алгебра

Задания

Тип 21 № 3526 Добавить в вариант

Разные задачи. 3. Решите задание введением тригонометрической замены

Решите задание введением тригонометрической замены $16x левая круглая скобка 2x в квадрате плюс 1 правая круглая скобка корень из: начало аргумента: x конец аргумента в квадрате плюс 1=3.$

Решение. Ясно, что $x больше 0.$ Выберем $0 меньше t меньше дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби$ так, чтобы $тангенс t=x.$ Тогда

$корень из: начало аргумента: 1 плюс x в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 1 плюс тангенс в квадрате t конец аргумента = дробь: числитель: 1, знаменатель: косинус t конец дроби ,$

поскольку $косинус t больше 0.$ Уравнение принимает вид:

$16 тангенс t левая круглая скобка 2 тангенс в квадрате t плюс 1 правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: косинус t конец дроби =3 равносильно 16 тангенс t левая круглая скобка 2 тангенс в квадрате t плюс 1 правая круглая скобка =3 косинус t равносильно$
$равносильно 16 синус t левая круглая скобка 2 синус в квадрате t плюс косинус в квадрате t правая круглая скобка =3 косинус в степени 4 t равносильно 16 синус t левая круглая скобка синус в квадрате t плюс 1 правая круглая скобка =3 левая круглая скобка 1 минус синус в квадрате t правая круглая скобка в квадрате .$ $16 тангенс t левая круглая скобка 2 тангенс в квадрате t плюс 1 правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: косинус t конец дроби =3 равносильно 16 тангенс t левая круглая скобка 2 тангенс в квадрате t плюс 1 правая круглая скобка =3 косинус t равносильно$
$равносильно 16 синус t левая круглая скобка 2 синус в квадрате t плюс косинус в квадрате t правая круглая скобка =3 косинус в степени 4 t равносильно$
$равносильно 16 синус t левая круглая скобка синус в квадрате t плюс 1 правая круглая скобка =3 левая круглая скобка 1 минус синус в квадрате t правая круглая скобка в квадрате .$ $16 тангенс t левая круглая скобка 2 тангенс в квадрате t плюс 1 правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: косинус t конец дроби =3 равносильно$
$равносильно 16 тангенс t левая круглая скобка 2 тангенс в квадрате t плюс 1 правая круглая скобка =3 косинус t равносильно$
$равносильно 16 синус t левая круглая скобка 2 синус в квадрате t плюс косинус в квадрате t правая круглая скобка =3 косинус в степени 4 t равносильно$
$равносильно 16 синус t левая круглая скобка синус в квадрате t плюс 1 правая круглая скобка =3 левая круглая скобка 1 минус синус в квадрате t правая круглая скобка в квадрате .$

Обозначим теперь $синус t = y,$ $y больше 0,$ получим:

$16y левая круглая скобка y в квадрате плюс 1 правая круглая скобка =3 левая круглая скобка 1 минус y в квадрате правая круглая скобка в квадрате 16y в кубе плюс 16y=3 минус 6y в квадрате плюс 3y в степени 4 равносильно$
$равносильно 3y в степени 4 минус 16y в кубе минус 6y в квадрате минус 16y плюс 3=0 равносильно 3y в квадрате минус 16y минус 6 минус дробь: числитель: 16, знаменатель: y конец дроби плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: y в квадрате конец дроби =0.$ $16y левая круглая скобка y в квадрате плюс 1 правая круглая скобка =3 левая круглая скобка 1 минус y в квадрате правая круглая скобка в квадрате 16y в кубе плюс 16y=3 минус 6y в квадрате плюс 3y в степени 4 равносильно$
$равносильно 3y в степени 4 минус 16y в кубе минус 6y в квадрате минус 16y плюс 3=0 равносильно$
$равносильно 3y в квадрате минус 16y минус 6 минус дробь: числитель: 16, знаменатель: y конец дроби плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: y в квадрате конец дроби =0.$

Обозначим $y плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: y конец дроби = z,$ $z больше 0,$ тогда

$z в квадрате = y в квадрате плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: y в квадрате конец дроби плюс 2 равносильно y в квадрате плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: y в квадрате конец дроби = z в квадрате минус 2.$

Уравнение примет вид:

$3 левая круглая скобка z в квадрате минус 2 правая круглая скобка минус 16z минус 6=0 равносильно 3z в квадрате минус 16z минус 12=0 равносильно$
$равносильно z= дробь: числитель: 16\pm корень из: начало аргумента: 16 в квадрате плюс 4 умножить на 3 умножить на 12 конец аргумента , знаменатель: 6 конец дроби равносильно z = дробь: числитель: 16\pm 20, знаменатель: 6 конец дроби равносильно совокупность выражений z=6,z= минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби конец совокупности . \undersetz больше 0\mathop равносильно z =6.$ $3 левая круглая скобка z в квадрате минус 2 правая круглая скобка минус 16z минус 6=0 равносильно 3z в квадрате минус 16z минус 12=0 равносильно$
$равносильно z= дробь: числитель: 16\pm корень из: начало аргумента: 16 в квадрате плюс 4 умножить на 3 умножить на 12 конец аргумента , знаменатель: 6 конец дроби равносильно$
$равносильно z = дробь: числитель: 16\pm 20, знаменатель: 6 конец дроби равносильно совокупность выражений z=6,z= минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби конец совокупности . \undersetz больше 0\mathop равносильно z =6.$

Имеем:

$y плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: y конец дроби =6 равносильно y в квадрате минус 6y плюс 1=0 равносильно y=3\pm корень из: начало аргумента: 9 минус 1 конец аргумента равносильно совокупность выражений y=3 минус 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента ,y=3 плюс 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента . конец совокупности .$

Поскольку $0 меньше y меньше или равно 1,$ второй корень не подходит. Получаем:

$синус t=3 минус 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента равносильно косинус t= корень из: начало аргумента: 1 минус левая круглая скобка 3 минус 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка в квадрате конец аргумента равносильно$
$равносильно косинус t= корень из: начало аргумента: 1 минус левая круглая скобка 9 плюс 8 минус 12 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка конец аргумента равносильно косинус t= корень из: начало аргумента: 12 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента минус 16 конец аргумента .$ $синус t=3 минус 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента равносильно косинус t= корень из: начало аргумента: 1 минус левая круглая скобка 3 минус 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка в квадрате конец аргумента равносильно$
$равносильно косинус t= корень из: начало аргумента: 1 минус левая круглая скобка 9 плюс 8 минус 12 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка конец аргумента равносильно$
$равносильно косинус t= корень из: начало аргумента: 12 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента минус 16 конец аргумента .$

Вернёмся к исходной переменной:

$x = тангенс t равносильно x= дробь: числитель: синус t, знаменатель: косинус t конец дроби равносильно x= дробь: числитель: 3 минус 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: корень из: начало аргумента: 12 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента минус 16 конец аргумента конец дроби .$

Ответ: $левая фигурная скобка дробь: числитель: 3 минус 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: корень из: начало аргумента: 12 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента минус 16 конец аргумента конец дроби правая фигурная скобка .$

3526

$левая фигурная скобка дробь: числитель: 3 минус 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: корень из: начало аргумента: 12 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента минус 16 конец аргумента конец дроби правая фигурная скобка .$

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	3526	$левая фигурная скобка дробь: числитель: 3 минус 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: корень из: начало аргумента: 12 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента минус 16 конец аргумента конец дроби правая фигурная скобка .$