РЕШУ УРОК — алгебра

Задания

Тип 21 № 3522 Добавить в вариант

Разные задачи. 3. Решите задание введением тригонометрической замены

Решите задание введением тригонометрической замены $корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус в кубе x минус 3 косинус в квадрате x минус 3 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус x плюс 1=0.$

Решение. Обозначим $y = косинус x,$ получим:

$корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента y в кубе минус 3y в квадрате минус 3 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента y плюс 1 = 0 равносильно корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента левая круглая скобка y в кубе минус 3y правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 1 минус 3y в квадрате правая круглая скобка =0 равносильно дробь: числитель: 3y минус y в кубе , знаменатель: 1 минус 3y в квадрате конец дроби = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби .$

При делении на $1 минус 3y в квадрате$ потери корней не произошло, так как одновременно равенства $1 минус 3y в квадрате = 0$ и $y в кубе минус 3y = 0$ не выполняются.

Положим $косинус x= тангенс t,$ где $минус дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i 2 меньше t меньше дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i 2,$ получим:

$дробь: числитель: 3 тангенс t минус тангенс в кубе t, знаменатель: 1 минус 3 тангенс в квадрате t конец дроби = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби равносильно тангенс 3t= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби равносильно 3t= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k равносильно t= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 18 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 3 конец дроби .$

Интервалу $минус дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i 2 меньше t меньше дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i 2$ принадлежат решения $t= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 18 конец дроби$ и $t= дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 18 конец дроби .$

Вернемся к исходной переменной:

$косинус x= тангенс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 18 конец дроби равносильно совокупность выражений новая строка x= арккосинус левая круглая скобка тангенс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 18 конец дроби правая круглая скобка плюс 2 Пи k, новая строка x= минус арккосинус левая круглая скобка тангенс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 18 конец дроби правая круглая скобка плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$

Уравнение $косинус x= тангенс дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 18 конец дроби$ не имеет решений, поскольку его правая часть больше единицы.

Ответ: $левая фигурная скобка минус арккосинус левая круглая скобка тангенс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 18 конец дроби правая круглая скобка плюс 2 Пи k; арккосинус левая круглая скобка тангенс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 18 конец дроби правая круглая скобка плюс 2 Пи k:k принадлежит Z . правая фигурная скобка .$

3522

$левая фигурная скобка минус арккосинус левая круглая скобка тангенс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 18 конец дроби правая круглая скобка плюс 2 Пи k; арккосинус левая круглая скобка тангенс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 18 конец дроби правая круглая скобка плюс 2 Пи k:k принадлежит Z . правая фигурная скобка .$

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	3522	$левая фигурная скобка минус арккосинус левая круглая скобка тангенс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 18 конец дроби правая круглая скобка плюс 2 Пи k; арккосинус левая круглая скобка тангенс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 18 конец дроби правая круглая скобка плюс 2 Пи k:k принадлежит Z . правая фигурная скобка .$