РЕШУ УРОК — алгебра

Задания

Тип 19 № 3310 Добавить в вариант

Прогрессии.6. Неопределённые прогрессии

Три различных числа a, b, c образуют арифметическую прогрессию (в указанном порядке). Найдите произведение чисел $дробь: числитель: 1, знаменатель: a конец дроби плюс 2, дробь: числитель: 1, знаменатель: b конец дроби плюс 2, дробь: числитель: 1, знаменатель: c конец дроби плюс 2,$ если известно, что они образуют геометрическую прогрессию.

Решение. Имеем:

$a,b,c$ − арифметическая прогрессия

$дробь: числитель: 1, знаменатель: a конец дроби плюс 2, дробь: числитель: 1, знаменатель: b конец дроби плюс 2, дробь: числитель: 1, знаменатель: c конец дроби плюс 2$   — геометрическая прогрессия.

Тогда по характеристическим свойствам обеих прогрессий составим систему, учитывая, что ни один член ни одной прогрессии не может быть равен нулю по условию.

Итак:

$система выражений новая строка 2b=a плюс c, новая строка левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: b конец дроби плюс 2 правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: a конец дроби плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: c конец дроби плюс 2 правая круглая скобка конец системы . равносильно система выражений новая строка 2b=a плюс c, новая строка дробь: числитель: 1, знаменатель: b в квадрате конец дроби плюс дробь: числитель: 4, знаменатель: b конец дроби плюс 4= дробь: числитель: 1, знаменатель: ac конец дроби плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: a конец дроби плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: c конец дроби плюс 4 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка 2b=a плюс c, новая строка дробь: числитель: 4b в квадрате плюс 4b плюс 1, знаменатель: b в квадрате конец дроби = дробь: числитель: 1 плюс 2c плюс 2a плюс 4ac, знаменатель: ac конец дроби конец системы . равносильно система выражений новая строка 2b=a плюс c, новая строка дробь: числитель: 4b в квадрате плюс 4b плюс 1, знаменатель: b в квадрате конец дроби = дробь: числитель: 1 плюс 4b плюс 4ac, знаменатель: ac конец дроби . конец системы .$ $система выражений новая строка 2b=a плюс c, новая строка левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: b конец дроби плюс 2 правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: a конец дроби плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: c конец дроби плюс 2 правая круглая скобка конец системы . равносильно система выражений новая строка 2b=a плюс c, новая строка дробь: числитель: 1, знаменатель: b в квадрате конец дроби плюс дробь: числитель: 4, знаменатель: b конец дроби плюс 4= дробь: числитель: 1, знаменатель: ac конец дроби плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: a конец дроби плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: c конец дроби плюс 4 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка 2b=a плюс c, новая строка дробь: числитель: 4b в квадрате плюс 4b плюс 1, знаменатель: b в квадрате конец дроби = дробь: числитель: 1 плюс 2c плюс 2a плюс 4ac, знаменатель: ac конец дроби конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка 2b=a плюс c, новая строка дробь: числитель: 4b в квадрате плюс 4b плюс 1, знаменатель: b в квадрате конец дроби = дробь: числитель: 1 плюс 4b плюс 4ac, знаменатель: ac конец дроби . конец системы .$ $система выражений новая строка 2b=a плюс c, новая строка левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: b конец дроби плюс 2 правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: a конец дроби плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: c конец дроби плюс 2 правая круглая скобка конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка 2b=a плюс c, новая строка дробь: числитель: 1, знаменатель: b в квадрате конец дроби плюс дробь: числитель: 4, знаменатель: b конец дроби плюс 4= дробь: числитель: 1, знаменатель: ac конец дроби плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: a конец дроби плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: c конец дроби плюс 4 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка 2b=a плюс c, новая строка дробь: числитель: 4b в квадрате плюс 4b плюс 1, знаменатель: b в квадрате конец дроби = дробь: числитель: 1 плюс 2c плюс 2a плюс 4ac, знаменатель: ac конец дроби конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка 2b=a плюс c, новая строка дробь: числитель: 4b в квадрате плюс 4b плюс 1, знаменатель: b в квадрате конец дроби = дробь: числитель: 1 плюс 4b плюс 4ac, знаменатель: ac конец дроби . конец системы .$

Решим второе уравнение:

$дробь: числитель: 4b в квадрате плюс 4b плюс 1, знаменатель: b в квадрате конец дроби = дробь: числитель: 1 плюс 4b плюс 4ac, знаменатель: ac конец дроби равносильно 4ab в квадрате c плюс 4abc плюс ac=b в квадрате плюс 4b в кубе плюс 4ab в квадрате c равносильно 4abc минус 4b в кубе =b в квадрате минус ac равносильно$ $дробь: числитель: 4b в квадрате плюс 4b плюс 1, знаменатель: b в квадрате конец дроби = дробь: числитель: 1 плюс 4b плюс 4ac, знаменатель: ac конец дроби равносильно$
$равносильно 4ab в квадрате c плюс 4abc плюс ac=b в квадрате плюс 4b в кубе плюс 4ab в квадрате c равносильно 4abc минус 4b в кубе =b в квадрате минус ac равносильно$ $дробь: числитель: 4b в квадрате плюс 4b плюс 1, знаменатель: b в квадрате конец дроби = дробь: числитель: 1 плюс 4b плюс 4ac, знаменатель: ac конец дроби равносильно$
$равносильно 4ab в квадрате c плюс 4abc плюс ac=b в квадрате плюс 4b в кубе плюс 4ab в квадрате c равносильно$
$равносильно 4abc минус 4b в кубе =b в квадрате минус ac равносильно$

$равносильно 4b левая круглая скобка ac минус b в квадрате правая круглая скобка = минус левая круглая скобка ac минус b в квадрате правая круглая скобка равносильно левая круглая скобка 4b плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка ac минус b в квадрате правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений новая строка b= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби , новая строка b в квадрате =ac. конец совокупности .$

Проверим, возможно ли второе уравнение, подставив его в исходную систему:

$система выражений новая строка a плюс c=2b, новая строка ac=b в квадрате конец системы .$   — это система Виета для уравнения $t в квадрате минус 2b плюс b в квадрате =0.$

Решим его:

$t в квадрате минус 2b плюс b в квадрате =0 равносильно t= дробь: числитель: 2b\pm корень из: начало аргумента: 4b в квадрате минус 4b в квадрате конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби равносильно t=b.$

Тогда получается, что $a=c=b,$ что противоречит условию.

Значит, вернувшись к совокупности, получаем, что $b= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .$

Наконец, найдем значение произведения $левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: a конец дроби плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: b конец дроби плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: c конец дроби плюс 2 правая круглая скобка .$

Характеристическое свойство геометрической прогрессии состоит в том, что $левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: b конец дроби плюс 2 правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: a конец дроби плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: c конец дроби плюс 2 правая круглая скобка ,$ а тогда

$левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: a конец дроби плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: b конец дроби плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: c конец дроби плюс 2 правая круглая скобка = левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: b конец дроби плюс 2 правая круглая скобка в кубе = левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби конец дроби плюс 2 правая круглая скобка в кубе = левая круглая скобка минус 4 плюс 2 правая круглая скобка в кубе = минус 8.$

Ответ: $минус 8.$

3310

$минус 8.$

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	3310	$минус 8.$