РЕШУ УРОК — алгебра

Задания

Тип 19 № 3306 Добавить в вариант

Прогрессии.6. Неопределённые прогрессии

Числовая арифметическая прогрессия состоит из четырех членов. Умножив ее второй член на некоторое отличное от единицы число, мы получили геометрическую прогрессию. Найти ее знаменатель.

Решение. Пусть $a минус d,a,a плюс d,a плюс 2d$   — арифметическая прогрессия.

Тогда $a минус d,ak,a плюс d,a плюс 2d$   — геометрическая прогрессия, где $k не равно 1,k не равно 0.$

Применим дважды характеристическое свойство геометрической прогрессии:

$система выражений новая строка a в квадрате k в квадрате = левая круглая скобка a минус d правая круглая скобка левая круглая скобка a плюс d правая круглая скобка , новая строка левая круглая скобка a плюс d правая круглая скобка в квадрате =ak левая круглая скобка a плюс 2d правая круглая скобка конец системы . равносильно система выражений новая строка a в квадрате k в квадрате =a в квадрате минус d в квадрате , новая строка a в квадрате плюс 2ad плюс d в квадрате =a в квадрате k плюс 2akd конец системы . равносильно система выражений новая строка левая круглая скобка дробь: числитель: a в квадрате плюс 2ad плюс d в квадрате , знаменатель: a в квадрате плюс 2ad конец дроби правая круглая скобка в квадрате умножить на a в квадрате =a в квадрате минус d в квадрате , новая строка k= дробь: числитель: a в квадрате плюс 2ad плюс d в квадрате , знаменатель: a в квадрате плюс 2ad конец дроби . конец системы .$ $система выражений новая строка a в квадрате k в квадрате = левая круглая скобка a минус d правая круглая скобка левая круглая скобка a плюс d правая круглая скобка , новая строка левая круглая скобка a плюс d правая круглая скобка в квадрате =ak левая круглая скобка a плюс 2d правая круглая скобка конец системы . равносильно система выражений новая строка a в квадрате k в квадрате =a в квадрате минус d в квадрате , новая строка a в квадрате плюс 2ad плюс d в квадрате =a в квадрате k плюс 2akd конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка левая круглая скобка дробь: числитель: a в квадрате плюс 2ad плюс d в квадрате , знаменатель: a в квадрате плюс 2ad конец дроби правая круглая скобка в квадрате умножить на a в квадрате =a в квадрате минус d в квадрате , новая строка k= дробь: числитель: a в квадрате плюс 2ad плюс d в квадрате , знаменатель: a в квадрате плюс 2ad конец дроби . конец системы .$ $система выражений новая строка a в квадрате k в квадрате = левая круглая скобка a минус d правая круглая скобка левая круглая скобка a плюс d правая круглая скобка , новая строка левая круглая скобка a плюс d правая круглая скобка в квадрате =ak левая круглая скобка a плюс 2d правая круглая скобка конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка a в квадрате k в квадрате =a в квадрате минус d в квадрате , новая строка a в квадрате плюс 2ad плюс d в квадрате =a в квадрате k плюс 2akd конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка левая круглая скобка дробь: числитель: a в квадрате плюс 2ad плюс d в квадрате , знаменатель: a в квадрате плюс 2ad конец дроби правая круглая скобка в квадрате умножить на a в квадрате =a в квадрате минус d в квадрате , новая строка k= дробь: числитель: a в квадрате плюс 2ad плюс d в квадрате , знаменатель: a в квадрате плюс 2ad конец дроби . конец системы .$

Преобразуем первое уравнение, учитывая, что $a плюс d не равно 0,$ так как это член геометрической прогрессии, следовательно, на него можно разделить:

$левая круглая скобка дробь: числитель: a в квадрате плюс 2ad плюс d в квадрате , знаменатель: a в квадрате плюс 2ad конец дроби правая круглая скобка в квадрате умножить на a в квадрате =a в квадрате минус d в квадрате равносильно левая круглая скобка дробь: числитель: левая круглая скобка a плюс d правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: a левая круглая скобка a плюс 2d правая круглая скобка конец дроби правая круглая скобка в квадрате умножить на a в квадрате = левая круглая скобка a минус d правая круглая скобка левая круглая скобка a плюс d правая круглая скобка равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка a плюс d правая круглая скобка в кубе , знаменатель: левая круглая скобка a плюс 2d правая круглая скобка в квадрате конец дроби =a минус d равносильно a в кубе плюс 3a в квадрате d плюс 3ad в квадрате плюс d в кубе = левая круглая скобка a минус d правая круглая скобка левая круглая скобка a в квадрате плюс 4ad плюс 4d в квадрате правая круглая скобка равносильно$ $левая круглая скобка дробь: числитель: a в квадрате плюс 2ad плюс d в квадрате , знаменатель: a в квадрате плюс 2ad конец дроби правая круглая скобка в квадрате умножить на a в квадрате =a в квадрате минус d в квадрате равносильно$
$равносильно левая круглая скобка дробь: числитель: левая круглая скобка a плюс d правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: a левая круглая скобка a плюс 2d правая круглая скобка конец дроби правая круглая скобка в квадрате умножить на a в квадрате = левая круглая скобка a минус d правая круглая скобка левая круглая скобка a плюс d правая круглая скобка равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка a плюс d правая круглая скобка в кубе , знаменатель: левая круглая скобка a плюс 2d правая круглая скобка в квадрате конец дроби =a минус d равносильно$
$равносильно a в кубе плюс 3a в квадрате d плюс 3ad в квадрате плюс d в кубе = левая круглая скобка a минус d правая круглая скобка левая круглая скобка a в квадрате плюс 4ad плюс 4d в квадрате правая круглая скобка равносильно$ $левая круглая скобка дробь: числитель: a в квадрате плюс 2ad плюс d в квадрате , знаменатель: a в квадрате плюс 2ad конец дроби правая круглая скобка в квадрате умножить на a в квадрате =a в квадрате минус d в квадрате равносильно$
$равносильно левая круглая скобка дробь: числитель: левая круглая скобка a плюс d правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: a левая круглая скобка a плюс 2d правая круглая скобка конец дроби правая круглая скобка в квадрате умножить на a в квадрате = левая круглая скобка a минус d правая круглая скобка левая круглая скобка a плюс d правая круглая скобка равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка a плюс d правая круглая скобка в кубе , знаменатель: левая круглая скобка a плюс 2d правая круглая скобка в квадрате конец дроби =a минус d равносильно$
$равносильно a в кубе плюс 3a в квадрате d плюс 3ad в квадрате плюс d в кубе = левая круглая скобка a минус d правая круглая скобка левая круглая скобка a в квадрате плюс 4ad плюс 4d в квадрате правая круглая скобка равносильно$

$равносильно a в кубе плюс 3a в квадрате d плюс 3ad в квадрате плюс d в кубе =a в кубе плюс 4a в квадрате d плюс 4ad в квадрате минус a в квадрате d минус 4ad в квадрате минус 4d в кубе равносильно$
$равносильно 3ad в квадрате плюс 5d в кубе =0 равносильно d в квадрате левая круглая скобка 3a плюс 5d правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений новая строка d=0, новая строка d= минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби a. конец совокупности .$ $равносильно a в кубе плюс 3a в квадрате d плюс 3ad в квадрате плюс d в кубе =a в кубе плюс 4a в квадрате d плюс 4ad в квадрате минус a в квадрате d минус 4ad в квадрате минус 4d в кубе равносильно$
$равносильно 3ad в квадрате плюс 5d в кубе =0 равносильно$
$равносильно d в квадрате левая круглая скобка 3a плюс 5d правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений новая строка d=0, новая строка d= минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби a. конец совокупности .$

Заметим, что при $d=0$ числа $a минус d,ak,a плюс d,a плюс 2d$ не образуют геометрическую прогрессию, так как $k не равно 1.$

При $d= минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби a:$

$q= дробь: числитель: a плюс 2d, знаменатель: a плюс d конец дроби равносильно q= дробь: числитель: a минус дробь: числитель: 6, знаменатель: 5 конец дроби a, знаменатель: a минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби a конец дроби равносильно q= дробь: числитель: 5 минус 6, знаменатель: 5 минус 3 конец дроби равносильно q= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$

Ответ: $минус 0,5.$

3306

$минус 0,5.$

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	3306	$минус 0,5.$