РЕШУ УРОК — алгебра

Задания

Тип 18 № 3237 Добавить в вариант

Множества точек координатной плоскости.12. Решите задачу с параметром

Определите количество решений системы $система выражений новая строка x в квадрате плюс y в квадрате =2 левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка , новая строка левая круглая скобка x плюс y правая круглая скобка в квадрате =14 конец системы .$ в зависимости от а.

Решение. Первое уравнение задает окружность с центром в начале координат и радиусом $корень из: начало аргумента: 2 левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка конец аргумента .$ Заметим, что $a больше минус 1.$ Второе уравнение задаёт две прямые:

$система выражений x в квадрате плюс y в квадрате =2 левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка , левая круглая скобка x плюс y правая круглая скобка в квадрате =14 конец системы . равносильно система выражений x в квадрате плюс y в квадрате =2 левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка , совокупность выражений y= минус x плюс корень из: начало аргумента: 14 конец аргумента ,y= минус x минус корень из: начало аргумента: 14 конец аргумента конец системы . конец совокупности .$

Система будет иметь решение, если прямые, задаваемые вторым уравнением, будут иметь точки пересечения с окружностью (см. рис.). Найдём радиус окружности, для этого рассмотрим прямоугольный равнобедренный треугольник. Высота, проведённая к гипотенузе − радиус (поскольку радиус перпендикулярен касательной), катеты равны корню из 14, тогда радиус равен:

$r= корень из: начало аргумента: 14 конец аргумента умножить на дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби = корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента .$

Найдём значение параметра, при котором радиус будет равен корню из семи:

$2 левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка = корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента в квадрате равносильно 2a плюс 2=7 равносильно a= дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби$ .

Тогда при $a= дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби$ будет 2 решения. Если $a меньше дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби$ , окружность не коснется прямых, следовательно, решений не будет. Если $a больше дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби ,$ окружность пересечёт прямые в 4-х точках.

Ответ: При $a меньше 2,5:$ нет решений, при $a=2,5:$ 2 решения, при $a больше 2,5:$ 4 решения.

3237

При $a меньше 2,5:$ нет решений, при $a=2,5:$ 2 решения, при $a больше 2,5:$ 4 решения.

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	3237	При $a меньше 2,5:$ нет решений, при $a=2,5:$ 2 решения, при $a больше 2,5:$ 4 решения.