РЕШУ УРОК — алгебра

Задания

Тип 17 № 3097 Добавить в вариант

Тригонометрические уравнения, неравенства, системы.36. Неравенства (задания вступительных экзаменов)

Решите неравенство (задания вступительных экзаменов) $2 синус x синус 2x синус 3x меньше синус 4x.$

Решение. 1)  Решим уравнение, соответствующее неравенству, чтобы найти нули функции $y=\0$ :

$2 синус x синус 2x синус 3x меньше 4x равносильно синус 2x левая круглая скобка косинус 2x минус косинус 4x правая круглая скобка меньше синус 4x равносильно синус 2x косинус 2x минус синус 2x косинус 4x меньше синус 4x равносильно$ $2 синус x синус 2x синус 3x меньше 4x равносильно синус 2x левая круглая скобка косинус 2x минус косинус 4x правая круглая скобка меньше синус 4x равносильно$
$равносильно синус 2x косинус 2x минус синус 2x косинус 4x меньше синус 4x равносильно$ $2 синус x синус 2x синус 3x меньше 4x равносильно$
$равносильно синус 2x левая круглая скобка косинус 2x минус косинус 4x правая круглая скобка меньше синус 4x равносильно$
$равносильно синус 2x косинус 2x минус синус 2x косинус 4x меньше синус 4x равносильно$

$равносильно 2 синус 2x косинус 2x минус синус 2x косинус 4x меньше 2 синус 4x равносильно минус синус 4x минус 2 синус 2x косинус 4x меньше 0 равносильно синус 2x минус синус 4x минус синус 6x равносильно$ $равносильно 2 синус 2x косинус 2x минус синус 2x косинус 4x меньше 2 синус 4x равносильно$
$равносильно минус синус 4x минус 2 синус 2x косинус 4x меньше 0 равносильно синус 2x минус синус 4x минус синус 6x равносильно$ $равносильно 2 синус 2x косинус 2x минус синус 2x косинус 4x меньше 2 синус 4x равносильно$
$равносильно минус синус 4x минус 2 синус 2x косинус 4x меньше 0 равносильно$
$равносильно синус 2x минус синус 4x минус синус 6x равносильно$

$равносильно минус 2 синус x косинус 3x минус 2 синус 3x косинус 3x равносильно косинус 3x левая круглая скобка синус x плюс синус 3x правая круглая скобка больше 0 равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби ,k принадлежит Z x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 3. конец дроби конец совокупности .$ $равносильно минус 2 синус x косинус 3x минус 2 синус 3x косинус 3x равносильно$
$равносильно косинус 3x левая круглая скобка синус x плюс синус 3x правая круглая скобка больше 0 равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби ,k принадлежит Z x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 3. конец дроби конец совокупности .$

2)  Нанесем нули функции на ригонометрическую окружность, увеличивая значения k, пока не доатигним периода.

Возьмем пробную точку $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$ Видно, что в этой точке функция принимает отрицательное значение. Далее, так как знаки чередуются, расставим их. Получаем:

$совокупность выражений x больше 2 Пи k,x меньше дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, x больше дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k, x меньше дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, x больше Пи плюс 2 Пи k, x меньше дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, x больше дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k,x меньше дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k. конец совокупности .$

Ответ: $\bigcup\limits_k принадлежит Z левая круглая скобка 2 Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k правая круглая скобка \cup левая круглая скобка Пи плюс 2 Пи k; дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k правая круглая скобка .$

3097

$\bigcup\limits_k принадлежит Z левая круглая скобка 2 Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k правая круглая скобка \cup левая круглая скобка Пи плюс 2 Пи k; дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k правая круглая скобка .$

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	3097	$\bigcup\limits_k принадлежит Z левая круглая скобка 2 Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k правая круглая скобка \cup левая круглая скобка Пи плюс 2 Пи k; дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k правая круглая скобка .$