РЕШУ УРОК — алгебра

Задания

Тип 17 № 3091 Добавить в вариант

Тригонометрические уравнения, неравенства, системы.36. Неравенства (задания вступительных экзаменов)

$синус x синус 3x больше или равно синус 5x синус 7x$

Решение. Преобразуем произведение в сумму, затем разложим на множители, используя формулу разности косинусов:

$синус x умножить на синус 3x больше или равно синус 5x умножить на синус 7x равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка косинус 2x минус косинус 4x правая круглая скобка больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка косинус 2x минус косинус 12x правая круглая скобка равносильно$ $синус x умножить на синус 3x больше или равно синус 5x умножить на синус 7x равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка косинус 2x минус косинус 4x правая круглая скобка больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка косинус 2x минус косинус 12x правая круглая скобка равносильно$

$равносильно косинус 12x минус косинус 4x больше или равно 0 равносильно минус 2 синус дробь: числитель: 4x плюс 12x, знаменатель: 2 конец дроби умножить на синус дробь: числитель: 12x минус 4x, знаменатель: 2 конец дроби больше или равно 0 равносильно 2 синус 8x умножить на синус 4x меньше или равно 0 равносильно$ $равносильно косинус 12x минус косинус 4x больше или равно 0 равносильно$
$равносильно минус 2 синус дробь: числитель: 4x плюс 12x, знаменатель: 2 конец дроби умножить на синус дробь: числитель: 12x минус 4x, знаменатель: 2 конец дроби больше или равно 0 равносильно 2 синус 8x умножить на синус 4x меньше или равно 0 равносильно$ $равносильно косинус 12x минус косинус 4x больше или равно 0 равносильно$
$равносильно минус 2 синус дробь: числитель: 4x плюс 12x, знаменатель: 2 конец дроби умножить на синус дробь: числитель: 12x минус 4x, знаменатель: 2 конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно 2 синус 8x умножить на синус 4x меньше или равно 0 равносильно$

$равносильно 4 синус 4x умножить на косинус 4x умножить на синус 4x меньше или равно 0 равносильно синус в квадрате 4x умножить на косинус 4x меньше или равно 0 равносильно левая круглая скобка 1 минус косинус в квадрате 4x правая круглая скобка косинус 4x меньше или равно 0.$ $равносильно 4 синус 4x умножить на косинус 4x умножить на синус 4x меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно синус в квадрате 4x умножить на косинус 4x меньше или равно 0 равносильно левая круглая скобка 1 минус косинус в квадрате 4x правая круглая скобка косинус 4x меньше или равно 0.$

Пусть $косинус 4x=t,$ тогда имеем:

$левая круглая скобка 1 минус t в квадрате правая круглая скобка умножить на t меньше или равно 0 равносильно t левая круглая скобка t в квадрате минус 1 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно t левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно совокупность выражений новая строка t больше или равно 1, новая строка минус 1 меньше или равно t меньше или равно 0. конец совокупности .$

Таким образом,

$совокупность выражений новая строка косинус 4x больше или равно 1, новая строка минус 1 меньше или равно косинус 4x меньше или равно 0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка косинус 4x=1, новая строка минус 1 меньше или равно косинус 4x меньше или равно 0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка 4x=2 Пи k, новая строка 2 Пи k минус Пи меньше или равно 4x меньше или равно 2 Пи k конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби k, новая строка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби k минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби меньше или равно x меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби k,k принадлежит Z . конец совокупности .$ $совокупность выражений новая строка косинус 4x больше или равно 1, новая строка минус 1 меньше или равно косинус 4x меньше или равно 0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка косинус 4x=1, новая строка минус 1 меньше или равно косинус 4x меньше или равно 0 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений новая строка 4x=2 Пи k, новая строка 2 Пи k минус Пи меньше или равно 4x меньше или равно 2 Пи k конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби k, новая строка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби k минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби меньше или равно x меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби k,k принадлежит Z . конец совокупности .$ $совокупность выражений новая строка косинус 4x больше или равно 1, новая строка минус 1 меньше или равно косинус 4x меньше или равно 0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка косинус 4x=1, новая строка минус 1 меньше или равно косинус 4x меньше или равно 0 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений новая строка 4x=2 Пи k, новая строка 2 Пи k минус Пи меньше или равно 4x меньше или равно 2 Пи k конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений новая строка x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби k, новая строка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби k минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби меньше или равно x меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби k,k принадлежит Z . конец совокупности .$

Ответ: $\bigcup\limits_k принадлежит Z левая квадратная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби правая фигурная скобка .$

3091

$\bigcup\limits_k принадлежит Z левая квадратная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби правая фигурная скобка .$

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	3091	$\bigcup\limits_k принадлежит Z левая квадратная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби правая фигурная скобка .$