РЕШУ УРОК — алгебра

Задания

Тип 17 № 3087 Добавить в вариант

Тригонометрические уравнения, неравенства, системы.36. Неравенства (задания вступительных экзаменов)

Решите неравенство (задания вступительных экзаменов) $косинус 2x плюс 2 косинус 2x косинус x больше или равно 0.$

Решение. 1)  Решим уравнение, соответствующее неравенству, чтобы найти нули функции $y= косинус 2x плюс 2 косинус 2x косинус x больше или равно 0$ :

$косинус 2x плюс 2 косинус 2x косинус x = 0 равносильно косинус 2x левая круглая скобка 1 плюс 2 косинус 2x правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений косинус 2x=0, косинус x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений 2x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k,k принадлежит Z ,x= дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби , x= дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k,k принадлежит Z ,x= дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби , x= дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k. конец совокупности .$ $косинус 2x плюс 2 косинус 2x косинус x = 0 равносильно$
$равносильно косинус 2x левая круглая скобка 1 плюс 2 косинус 2x правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений косинус 2x=0, косинус x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений 2x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k,k принадлежит Z ,x= дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби , x= дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k,k принадлежит Z ,x= дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби , x= дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k. конец совокупности .$

2)  Нанесем нули функции на ригонометрическую окружность, увеличивая значения k, пока не доатигним периода.

Возьмем пробную точку $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$ Видно, что в этой точке функция принимает отрицательное значение. Далее, так как знаки чередуются, расставим их. Получаем:

$совокупность выражений x\geqslant минус дробь: числитель: Пи }4 плюс 2 Пи k,x меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, x больше или равно дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, x меньше или равно дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, x больше или равно дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, x меньше или равно дробь: числитель: {, знаменатель: 4 конец дроби Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k. конец совокупности .$

Ответ: $\bigcup\limits_k принадлежит Z левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи 4 плюс 2 Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k правая квадратная скобка , знаменатель: . конец дроби$

3087

$\bigcup\limits_k принадлежит Z левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи 4 плюс 2 Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k правая квадратная скобка , знаменатель: . конец дроби$

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	3087	$\bigcup\limits_k принадлежит Z левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи 4 плюс 2 Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k правая квадратная скобка , знаменатель: . конец дроби$