Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 3077
i

Ре­ши­те не­ра­вен­ство (за­да­ния всту­пи­тель­ных эк­за­ме­нов) синус x плюс ко­си­нус x плюс синус x ко­си­нус x боль­ше или равно 1.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Ис­поль­зуя фор­му­лы си­ну­са двой­но­го угла по­лу­ча­ем:

синус x ко­си­нус x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби синус 2x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка синус x плюс ко­си­нус x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Пусть t= синус x плюс ко­си­нус x, тогда

t плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби t в квад­ра­те боль­ше или равно 1 рав­но­силь­но t в квад­ра­те плюс 2t минус 3 боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний t боль­ше или равно 1,t мень­ше или равно минус 3. конец со­во­куп­но­сти .

Вто­рое мно­же­ство ре­ше­ний будет пу­стым, так как синус и ко­си­нус по мо­ду­лю не боль­ше 1, а зна­чит, их сумма по мо­ду­лю не боль­ше 2. Введём вспо­мо­га­тель­ный угол:

синус x плюс ко­си­нус x боль­ше или равно 1 рав­но­силь­но ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та синус левая круг­лая скоб­ка x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 1 рав­но­силь­но синус левая круг­лая скоб­ка x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но
рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби боль­ше или равно дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k,x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x боль­ше или равно 2 Пи k,x мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k, конец си­сте­мы . k при­над­ле­жит Z .

Ответ: \undersetk при­над­ле­жит Z \mathop\bigcup левая квад­рат­ная скоб­ка 2 Пи k; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .


Аналоги к заданию № 3077: 3078 Все

Спрятать решение · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025