РЕШУ УРОК — алгебра

Задания

Тип 17 № 3071 Добавить в вариант

Тригонометрические уравнения, неравенства, системы.34. Неравенства различных типов

Решите неравенство $косинус в квадрате x плюс косинус в квадрате 3x минус синус в квадрате 2x минус синус в квадрате 4x больше 0.$

Решение. Воспользуемся формулами понижения порядка, расставим знаки на окружности, найдём решения:

$косинус в квадрате x плюс косинус в квадрате 3x минус синус в квадрате 2x минус синус в квадрате 4x больше 0 равносильно дробь: числитель: 1 плюс косинус 2x, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 1 плюс косинус 6x, знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: 1 минус косинус 4x, знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: 1 минус cos8x, знаменатель: 2 конец дроби больше 0 равносильно$ $косинус в квадрате x плюс косинус в квадрате 3x минус синус в квадрате 2x минус синус в квадрате 4x больше 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 1 плюс косинус 2x, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 1 плюс косинус 6x, знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: 1 минус косинус 4x, знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: 1 минус cos8x, знаменатель: 2 конец дроби больше 0 равносильно$

$равносильно косинус 2x плюс косинус 4x плюс косинус 6x плюс косинус 8x больше 0 равносильно 2 косинус 5x косинус 3x плюс 2 косинус 5x косинус x больше 0 равносильно$ $равносильно косинус 2x плюс косинус 4x плюс косинус 6x плюс косинус 8x больше 0 равносильно$
$равносильно 2 косинус 5x косинус 3x плюс 2 косинус 5x косинус x больше 0 равносильно$

$равносильно косинус 5x левая круглая скобка косинус 3x плюс косинус x правая круглая скобка больше 0 равносильно косинус 5x косинус 2x косинус x больше 0.$

Решим соответствующее уравнение:

$совокупность выражений косинус x =0, косинус 2x =0, косинус 5x =0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k,x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби k, x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 10 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 5 конец дроби k, конец совокупности .k принадлежит Z .$

Имеем:

$совокупность выражений минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 10 конец дроби плюс Пи k меньше x меньше дробь: числитель: Пи , знаменатель: 10 конец дроби плюс Пи k, дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k меньше x меньше дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 10 конец дроби плюс Пи k, дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 10 конец дроби плюс Пи k меньше x меньше дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k, конец совокупности .k принадлежит Z .$

Ответ: $\undersetk принадлежит Z \mathop\bigcup левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 10 конец дроби плюс Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 10 конец дроби плюс Пи k правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 10 конец дроби плюс Пи k правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 10 конец дроби плюс Пи k; . дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k правая круглая скобка .$

3071

$\undersetk принадлежит Z \mathop\bigcup левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 10 конец дроби плюс Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 10 конец дроби плюс Пи k правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 10 конец дроби плюс Пи k правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 10 конец дроби плюс Пи k; . дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k правая круглая скобка .$

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	3071	$\undersetk принадлежит Z \mathop\bigcup левая круглая скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 10 конец дроби плюс Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 10 конец дроби плюс Пи k правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 10 конец дроби плюс Пи k правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 10 конец дроби плюс Пи k; . дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k правая круглая скобка .$