РЕШУ УРОК — алгебра

Задания

Тип 17 № 2997 Добавить в вариант

Тригонометрические уравнения, неравенства, системы.27. Определите, при каких значениях параметра

Определите, при каких значениях параметра неравенство $a в квадрате плюс 2a минус синус в квадрате x минус 2a косинус x больше 2$ выполняется для любого значения переменной.

Решение. Упростим:

$a в квадрате плюс 2a минус синус в квадрате x минус 2a косинус x больше 2 равносильно минус 1 плюс косинус в квадрате x минус 2a косинус x плюс a в квадрате плюс 2a минус 2 больше 0 равносильно$
$равносильно косинус в квадрате x минус 2a косинус x плюс a в квадрате плюс 2a минус 3 больше 0.$ $a в квадрате плюс 2a минус синус в квадрате x минус 2a косинус x больше 2 равносильно$
$равносильно минус 1 плюс косинус в квадрате x минус 2a косинус x плюс a в квадрате плюс 2a минус 2 больше 0 равносильно$
$равносильно косинус в квадрате x минус 2a косинус x плюс a в квадрате плюс 2a минус 3 больше 0.$

Пусть $косинус x = t,$ тогда $t в квадрате минус 2at плюс a в квадрате плюс 2a минус 3 больше 0,$ х_в  — абсцисса вершины параболы, являющейся графиком левой части уравнения, а $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =t в квадрате минус 2a t плюс a в квадрате плюс 2a минус 3,$ рассмотрим возможные случаи расположения корней неравенства в зависимости от a:

$1 правая круглая скобка система выражений x_в меньше минус 1,f левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка больше 0 конец системы .$

$2 правая круглая скобка система выражений минус 1 меньше или равно x_в меньше или равно 1,f левая круглая скобка a правая круглая скобка больше 0 конец системы .$

$3 правая круглая скобка система выражений x_в больше 1,f левая круглая скобка 1 правая круглая скобка больше 0. конец системы .$

Рассмотрим случаи более подробно, применим метод интервалов:

$1 правая круглая скобка система выражений x_в меньше минус 1,f левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка больше 0 конец системы . равносильно система выражений a меньше минус 1,a в квадрате плюс 4a минус 2 больше 0 конец системы . равносильно a меньше минус 2 минус корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента ;$

$2 правая круглая скобка система выражений минус 1 меньше или равно x_в меньше или равно 1,f левая круглая скобка a правая круглая скобка больше 0 конец системы . равносильно система выражений минус 1 меньше или равно a меньше или равно 1,2a минус 3 больше 0 конец системы . равносильно система выражений минус 1 меньше или равно a меньше или равно 1,a больше дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби конец системы .$   — решений нет;

$3 правая круглая скобка система выражений x_в больше 1,f левая круглая скобка 1 правая круглая скобка больше 0. конец системы . равносильно система выражений a больше 1,1 минус 2a плюс a в квадрате плюс 2a минус 3 больше 0 конец системы . равносильно система выражений a больше 1,a в квадрате минус 2 больше 0 конец системы . равносильно a больше корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$ $3 правая круглая скобка система выражений x_в больше 1,f левая круглая скобка 1 правая круглая скобка больше 0. конец системы . равносильно система выражений a больше 1,1 минус 2a плюс a в квадрате плюс 2a минус 3 больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений a больше 1,a в квадрате минус 2 больше 0 конец системы . равносильно a больше корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 2 минус корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента правая круглая скобка \cup левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента ; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

2997

$левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 2 минус корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента правая круглая скобка \cup левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента ; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	2997	$левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 2 минус корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента правая круглая скобка \cup левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента ; плюс бесконечность правая круглая скобка .$