РЕШУ УРОК — алгебра

Задания

Тип 17 № 2913 Добавить в вариант

Тригонометрические уравнения, неравенства, системы.18. Уравнения (задания вступительных экзаменов)

Решите уравнение (задания вступительных экзаменов) $косинус 2x плюс 4 синус в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка x=8 косинус в степени левая круглая скобка 6 правая круглая скобка x.$

Решение. Упростим:

$косинус 2x плюс 4 синус в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка x=8 косинус в степени левая круглая скобка 6 правая круглая скобка x равносильно 1 минус 2 синус в квадрате x плюс 4 синус в степени 4 x=8 левая круглая скобка 1 минус синус в квадрате x правая круглая скобка в кубе равносильно$

$равносильно 1 минус 2 синус в квадрате x плюс 4 синус в степени 4 x=8 левая круглая скобка 1 минус 3 синус в квадрате x плюс 3 синус в степени 4 x минус синус в степени 6 x правая круглая скобка равносильно$

$равносильно 1 минус 2 синус в квадрате x плюс 4 синус в степени 4 x минус 8 плюс 24 синус в квадрате x минус 24 синус в степени 4 x плюс 8 синус в степени 6 x=0 равносильно$

$равносильно 20 синус в степени 4 x минус 22 синус в квадрате x минус 8 синус в степени 6 x плюс 7=0$

Пусть $синус в квадрате x=t,$ тогда $синус в степени 4 x=t в квадрате$ и $синус в степени 6 x=t в кубе .$ Имеем:

$20t в квадрате минус 22t минус 8t в кубе плюс 7=0 равносильно 8t в кубе минус 20x в квадрате плюс 22t минус 7=0 равносильно 8t в кубе минус 4t в квадрате минус 16t в квадрате плюс 8t плюс 14t минус 7=0 равносильно$ $20t в квадрате минус 22t минус 8t в кубе плюс 7=0 равносильно 8t в кубе минус 20x в квадрате плюс 22t минус 7=0 равносильно$
$равносильно 8t в кубе минус 4t в квадрате минус 16t в квадрате плюс 8t плюс 14t минус 7=0 равносильно$ $20t в квадрате минус 22t минус 8t в кубе плюс 7=0 равносильно$
$равносильно 8t в кубе минус 20x в квадрате плюс 22t минус 7=0 равносильно$
$равносильно 8t в кубе минус 4t в квадрате минус 16t в квадрате плюс 8t плюс 14t минус 7=0 равносильно$

$равносильно 4t в квадрате левая круглая скобка 2t минус 1 правая круглая скобка минус 8t левая круглая скобка 2t минус 1 правая круглая скобка плюс 7 левая круглая скобка 2t минус 1 правая круглая скобка =0 равносильно левая круглая скобка 2t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 4t в квадрате минус 8t плюс 7 правая круглая скобка =0 равносильно$ $равносильно 4t в квадрате левая круглая скобка 2t минус 1 правая круглая скобка минус 8t левая круглая скобка 2t минус 1 правая круглая скобка плюс 7 левая круглая скобка 2t минус 1 правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 2t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 4t в квадрате минус 8t плюс 7 правая круглая скобка =0 равносильно$

$равносильно совокупность выражений 2t минус 1=0,4t в квадрате минус 8t плюс 7=0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений t= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,4t в квадрате минус 8t плюс 7=0. конец совокупности .$

Заметим, что второе уравнение совокупности не имеет решений, значит, единственное решение $t= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$ Вернёмся к исходной переменной, получим:

$синус в квадрате x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно совокупность выражений синус x= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , синус x= минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k,x= дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k,x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k,x= дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k конец совокупности . равносильно x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби ,k принадлежит Z .$ $синус в квадрате x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно совокупность выражений синус x= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , синус x= минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k,x= дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k,x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k,x= дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k конец совокупности . равносильно x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби ,k принадлежит Z .$

Ответ: $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби :k принадлежит Z правая фигурная скобка .$

2913

$левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби :k принадлежит Z правая фигурная скобка .$

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	2913	$левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби :k принадлежит Z правая фигурная скобка .$