РЕШУ УРОК — алгебра

Задания

Тип 17 № 2903 Добавить в вариант

Тригонометрические уравнения, неравенства, системы.18. Уравнения (задания вступительных экзаменов)

Решить уравнение (задания вступительных экзаменов) $синус в степени 4 x плюс косинус в степени 4 x= дробь: числитель: 5, знаменатель: 8 конец дроби .$

Решение. Произведем преобразования:

$синус в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка x плюс косинус в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка x= дробь: числитель: 5, знаменатель: 8 конец дроби равносильно левая круглая скобка синус в квадрате x правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка 1 минус синус в квадрате x правая круглая скобка в квадрате = дробь: числитель: 5, знаменатель: 8 конец дроби равносильно$

$равносильно синус в степени 4 x плюс 1 минус 2 синус в квадрате x плюс синус в степени 4 x= дробь: числитель: 5, знаменатель: 8 конец дроби равносильно 16 синус в степени 4 x минус 16 синус в квадрате x плюс 3=0$

Пусть $t= синус в квадрате x,$ тогда $t в квадрате = синус в степени 4 x.$ Имеем:

$16t в квадрате минус 16t плюс 3=0 равносильно 16 левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка =0 равносильно левая круглая скобка 4x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 4x минус 1 правая круглая скобка =0 равносильно$

$равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби ,x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби . конец совокупности .$

Вернёмся к исходным переменным и получим:

$совокупность выражений синус в квадрате x= дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби , синус в квадрате x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений синус x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , синус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , синус x= минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , синус x= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k,x= дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k,x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k,x= дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k,x= дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k,x= дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k,x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k,x= дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби ,x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби ,k принадлежит Z . конец совокупности .$ $совокупность выражений синус в квадрате x= дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби , синус в квадрате x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений синус x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , синус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , синус x= минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , синус x= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k,x= дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k,x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k,x= дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k,x= дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k,x= дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k,x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k,x= дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби ,x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби ,k принадлежит Z . конец совокупности .$

Ответ: $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби :k принадлежит Z правая фигурная скобка .$

2903

$левая фигурная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби :k принадлежит Z правая фигурная скобка .$

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	2903	$левая фигурная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби :k принадлежит Z правая фигурная скобка .$