Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 16 № 2670
i

Из­вест­но, что  синус альфа = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби , тан­генс альфа мень­ше 0. Най­ди­те зна­че­ние си­ну­са, ко­си­ну­са, тан­ген­са и ко­тан­ген­са углов: а) α, б) 2α, в) 3α, г) α/2.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Най­дем три­го­но­мет­ри­че­ские функ­ции того же угла:

1 плюс \ctg в квад­ра­те альфа = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: синус в квад­ра­те альфа конец дроби рав­но­силь­но \ctg в квад­ра­те альфа = дробь: чис­ли­тель: 25, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби минус 1 рав­но­силь­но \ctg альфа = минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 16, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но \ctg альфа = минус дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ,

 

 тан­генс альфа = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: \ctg альфа конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ,

 

 ко­си­нус альфа = дробь: чис­ли­тель: синус альфа , зна­ме­на­тель: тан­генс альфа конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби умно­жить на левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = минус дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби ,

 

 синус альфа = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби .

 

б)  Най­дем три­го­но­мет­ри­че­ские функ­ции двой­но­го угла:

 синус 2 альфа =2 синус альфа умно­жить на ко­си­нус альфа =2 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби умно­жить на левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = минус дробь: чис­ли­тель: 24, зна­ме­на­тель: 25 конец дроби ,

 

 ко­си­нус 2 альфа =1 минус 2 синус в квад­ра­те альфа =1 минус 2 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 25 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 25, зна­ме­на­тель: 25 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 18, зна­ме­на­тель: 25 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 25 конец дроби ,

 тан­генс 2 альфа = дробь: чис­ли­тель: синус 2 альфа , зна­ме­на­тель: ко­си­нус 2 альфа конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: 24, зна­ме­на­тель: 25 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 25, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: 24, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби ,

\ctg2 альфа = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: тан­генс 2 альфа конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 24 конец дроби .

 

в)  Най­дем три­го­но­мет­ри­че­ские функ­ции трой­но­го угла:

 синус 3 альфа =3 синус альфа минус 4 синус в кубе альфа =3 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби минус 4 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 3 в кубе , зна­ме­на­тель: 5 в кубе конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 225, зна­ме­на­тель: 125 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 108, зна­ме­на­тель: 125 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 117, зна­ме­на­тель: 125 конец дроби ,

 ко­си­нус 3 альфа =4 ко­си­нус в кубе альфа минус 3 ко­си­нус альфа =4 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 4 в кубе , зна­ме­на­тель: 5 в кубе конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 3 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: 256, зна­ме­на­тель: 125 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 300, зна­ме­на­тель: 125 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 44, зна­ме­на­тель: 125 конец дроби ,

 тан­генс 3 альфа = дробь: чис­ли­тель: синус 3 альфа , зна­ме­на­тель: ко­си­нус 3 альфа конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 117, зна­ме­на­тель: 125 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 125, зна­ме­на­тель: 44 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 117, зна­ме­на­тель: 44 конец дроби ,

\ctg3 альфа = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: тан­генс 3 альфа конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 44, зна­ме­на­тель: 117 конец дроби .

 

г)  За­ме­тим, что так как  тан­генс альфа мень­ше 0 и  синус альфа боль­ше 0, то  альфа лежит во вто­рой чет­вер­ти. Сле­до­ва­тель­но,  дробь: чис­ли­тель: альфа , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби лежит в пер­вой чет­вер­ти. Итак, имеем:

 синус дробь: чис­ли­тель: альфа , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 1 минус ко­си­нус альфа , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 10 конец дроби конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та конец дроби ,

 

 

 ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: альфа , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 1 плюс ко­си­нус альфа , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 10 конец дроби конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та конец дроби ,

 

 

 тан­генс дробь: чис­ли­тель: альфа , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: синус дробь: чис­ли­тель: альфа , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , зна­ме­на­тель: ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: альфа , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 1 конец дроби =3,

 

 

\ctg дробь: чис­ли­тель: альфа , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: тан­генс дробь: чис­ли­тель: альфа , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

 

Ответ: а)  дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби ; минус дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби ; минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; минус дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ; б)  минус дробь: чис­ли­тель: 24, зна­ме­на­тель: 25 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 25 конец дроби ; минус дробь: чис­ли­тель: 24, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби ; минус дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 24 конец дроби ; в)  дробь: чис­ли­тель: 117, зна­ме­на­тель: 125 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 44, зна­ме­на­тель: 125 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 114, зна­ме­на­тель: 44 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 44, зна­ме­на­тель: 117 конец дроби ; г)  дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та конец дроби ; 3; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .


Аналоги к заданию № 2670: 2671 Все