Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 16 № 2668
i

По за­дан­ным усло­ви­ям най­ди­те зна­че­ние си­ну­са, ко­си­ну­са, тан­ген­са и ко­тан­ген­са угла альфа, двой­но­го угла альфа, трой­но­го угла альфа, альфа по­по­лам  ко­си­нус альфа = минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , альфа при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка Пи ;2 Пи пра­вая круг­лая скоб­ка

 

При­ме­ча­ние. Най­ди­те зна­че­ние си­ну­са, ко­си­ну­са, тан­ген­са и ко­тан­ген­са а) угла  альфа ; б) угла 2 альфа ; в) угла 3 альфа ; г) угла  альфа /2.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Найдём три­го­но­мет­ри­че­ские функ­ции того же угла:

1 плюс тан­генс в квад­ра­те альфа = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­си­нус в квад­ра­те альфа конец дроби рав­но­силь­но тан­генс в квад­ра­те альфа = дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 1 конец дроби минус 1 рав­но­силь­но тан­генс альфа = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 1 конец дроби конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но тан­генс альфа = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ,

 

\ctg альфа = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: тан­генс альфа конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби ,

 

 синус альфа = дробь: чис­ли­тель: ко­си­нус альфа , зна­ме­на­тель: \ctg альфа конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 1 конец дроби умно­жить на левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,

 

 ко­си­нус альфа = минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

 

б)  Най­дем три­го­но­мет­ри­че­ские функ­ции двой­но­го угла:

 синус 2 альфа =2 синус альфа умно­жить на ко­си­нус альфа =2 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,

 

 ко­си­нус 2 альфа =1 минус 2 синус в квад­ра­те альфа =1 минус 2 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 6, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,

 

 тан­генс 2 альфа = дробь: чис­ли­тель: синус 2 альфа , зна­ме­на­тель: ко­си­нус 2 альфа конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 1 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ,

 

\ctg2 альфа = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: тан­генс 2 альфа конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

 

в)  Най­дем три­го­но­мет­ри­че­ские функ­ции трой­но­го угла:

 синус 3 альфа =3 синус альфа минус 4 синус в кубе альфа =3 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 4 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 12 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 12 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби =0,

 ко­си­нус 3 альфа =4 ко­си­нус в кубе альфа минус 3 ко­си­нус альфа =4 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 3 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =1,

 

 тан­генс 3 альфа = дробь: чис­ли­тель: синус 3 альфа , зна­ме­на­тель: ко­си­нус 3 альфа конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 0, зна­ме­на­тель: 1 конец дроби =0,

 

\ctg3 альфа = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: тан­генс 3 альфа конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 0 конец дроби   — дан­ный ко­тан­генс не су­ще­ству­ет.

 

г)  Чтобы найти три­го­но­мет­ри­че­ские функ­ции по­ло­вин­но­го угла, за­ме­тим (можно было сде­лать это и рань­ше), что угол  альфа можно найти явно. Дей­стви­тель­но,  ко­си­нус альфа на про­ме­жут­ке  левая квад­рат­ная скоб­ка Пи ; 2 Пи пра­вая круг­лая скоб­ка об­ра­ща­ет­ся в  минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби толь­ко в точке  дробь: чис­ли­тель: 4 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби . По­это­му  дробь: чис­ли­тель: зна­ме­на­тель: a конец дроби lpha2 = дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби . Итак, имеем:

 

 синус дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби

 ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби

 тан­генс дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та

\ctg дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби

 

Ответ: а)  минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби ; б)  дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ; минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби ; в) 0; 1; 0; \varnothing ; г)  дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ; минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби .


Аналоги к заданию № 2668: 2669 Все