РЕШУ УРОК — алгебра

Задания

Тип 14 № 2391 Добавить в вариант

Логарифмические уравнения, неравенства, системы.55. Системы, содержащие неравенство с переменным основанием

Решите систему неравенств $система выражений новая строка 2 умножить на 25 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 5 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка плюс 2 меньше или равно 0, новая строка левая круглая скобка x в квадрате плюс 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка десятичный логарифм левая круглая скобка 7x правая круглая скобка в квадрате минус 3x плюс 1 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 7x в квадрате минус 3x плюс 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка десятичный логарифм левая круглая скобка x правая круглая скобка в квадрате плюс 1 правая круглая скобка меньше или равно 2. конец системы .$

Решение. Решим первое неравенство как квадратное относительно $5 в степени x ,$ используем основное логарифмическое тождество и преобразуем оба предложения системы:

$система выражений 2 умножить на 25 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 5 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка плюс 2 меньше или равно 0, левая круглая скобка x в квадрате плюс 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка \lg левая круглая скобка 7x в квадрате минус 3x плюс 1 правая круглая скобка правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 7x в квадрате минус 3x плюс 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка \lg левая круглая скобка x в квадрате плюс 1 правая круглая скобка правая круглая скобка меньше или равно 2 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений 2 умножить на 5 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка минус 5 умножить на 5 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс 2 меньше или равно 0, левая круглая скобка 7x в квадрате минус 3x плюс 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка \lg левая круглая скобка x в квадрате плюс 1 правая круглая скобка правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 7x в квадрате минус 3x плюс 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка \lg левая круглая скобка x в квадрате плюс 1 правая круглая скобка правая круглая скобка \leqslant2 конец системы . равносильно$

$равносильно система выражений дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно 5 в степени x меньше или равно 2, левая круглая скобка 7x в квадрате минус 3x плюс 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка \lg левая круглая скобка x в квадрате плюс 1 правая круглая скобка правая круглая скобка меньше или равно 1 конец системы равносильно система выражений минус логарифм по основанию 5 2 меньше или равно x меньше или равно логарифм по основанию 5 2, левая круглая скобка 7x в квадрате минус 3x плюс 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка \lg левая круглая скобка x в квадрате плюс 1 правая круглая скобка правая круглая скобка меньше или равно 1. конец системы .$

Заметим, что $x в квадрате плюс 1 больше 1,$ а значит, $\lg левая круглая скобка x в квадрате плюс 1 правая круглая скобка больше 0,$ тогда второе неравенство сводится к

$система выражений 7x в квадрате минус 3x плюс 1 меньше или равно 1,7x в квадрате минус 3x плюс 1 больше или равно 0—верно конец системы . равносильно 0 меньше или равно x меньше или равно дробь: числитель: 3, знаменатель: 7 конец дроби .$

Число $минус логарифм по основанию 5 2$ отрицательно, то есть, меньше 0. Сравним $логарифм по основанию 5 2$ и $дробь: числитель: 3, знаменатель: 7 конец дроби :$

$5 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 5 2 правая круглая скобка больше 5 в степени д робь: числитель: 3, знаменатель: 7 конец дроби } равносильно 2 больше корень 7 степени из: начало аргумента: 125 конец аргумента равносильно 128 больше 125.$

Итак, искомое множество решений $левая квадратная скобка 0; дробь: числитель: 3, знаменатель: 7 конец дроби правая квадратная скобка .$

Ответ: $левая квадратная скобка 0; дробь: числитель: 3, знаменатель: 7 конец дроби правая квадратная скобка .$

2391

$левая квадратная скобка 0; дробь: числитель: 3, знаменатель: 7 конец дроби правая квадратная скобка .$

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	2391	$левая квадратная скобка 0; дробь: числитель: 3, знаменатель: 7 конец дроби правая квадратная скобка .$