РЕШУ УРОК — алгебра

Задания

Тип 14 № 2389 Добавить в вариант

Логарифмические уравнения, неравенства, системы.55. Системы, содержащие неравенство с переменным основанием

Решите систему неравенств $система выражений новая строка дробь: числитель: 8 в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка минус 5 умножить на 0,5 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка , знаменатель: 2 в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка минус 2 в степени левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0, новая строка \log _x в квадрате левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: x в квадрате конец дроби правая круглая скобка меньше или равно 0 конец системы . .$

Решение. Используя теорему о знаках преобразуем систему:

$система выражений дробь: числитель: 8 в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка минус 5 умножить на 0,5 в степени x , знаменатель: 2 в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка минус 2 в степени левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0, логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: x в квадрате конец дроби правая круглая скобка меньше или равно 0 конец системы . равносильно система выражений дробь: числитель: 2 в степени левая круглая скобка минус 3x правая круглая скобка минус 5 умножить на 2 в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка , знаменатель: 2 в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка минус 16 умножить на 2 в степени x конец дроби больше или равно 0, дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби левая круглая скобка 1 плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: x конец дроби правая круглая скобка больше 0,x в квадрате не равно 1, левая круглая скобка x в квадрате минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: x в квадрате конец дроби минус 1 правая круглая скобка \leqslant0 конец системы . равносильно система выражений дробь: числитель: 2 в степени левая круглая скобка минус 3x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус 5 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка правая круглая скобка , знаменатель: 2 в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус 16 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0,x в квадрате не равно 1, совокупность выражений x больше 0,x меньше минус 2, конец системы . левая круглая скобка x в квадрате минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 2 правая круглая скобка больше или равно 0 конец совокупности . равносильно$ $система выражений дробь: числитель: 8 в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка минус 5 умножить на 0,5 в степени x , знаменатель: 2 в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка минус 2 в степени левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0, логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: x в квадрате конец дроби правая круглая скобка меньше или равно 0 конец системы . равносильно система выражений дробь: числитель: 2 в степени левая круглая скобка минус 3x правая круглая скобка минус 5 умножить на 2 в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка , знаменатель: 2 в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка минус 16 умножить на 2 в степени x конец дроби больше или равно 0, дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби левая круглая скобка 1 плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: x конец дроби правая круглая скобка больше 0,x в квадрате не равно 1, левая круглая скобка x в квадрате минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: x в квадрате конец дроби минус 1 правая круглая скобка \leqslant0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: 2 в степени левая круглая скобка минус 3x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус 5 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка правая круглая скобка , знаменатель: 2 в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус 16 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0,x в квадрате не равно 1, совокупность выражений x больше 0,x меньше минус 2, конец системы . левая круглая скобка x в квадрате минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 2 правая круглая скобка больше или равно 0 конец совокупности . равносильно$ $система выражений дробь: числитель: 8 в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка минус 5 умножить на 0,5 в степени x , знаменатель: 2 в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка минус 2 в степени левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0, логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: x в квадрате конец дроби правая круглая скобка меньше или равно 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: 2 в степени левая круглая скобка минус 3x правая круглая скобка минус 5 умножить на 2 в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка , знаменатель: 2 в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка минус 16 умножить на 2 в степени x конец дроби больше или равно 0, дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби левая круглая скобка 1 плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: x конец дроби правая круглая скобка больше 0,x в квадрате не равно 1, левая круглая скобка x в квадрате минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: x в квадрате конец дроби минус 1 правая круглая скобка \leqslant0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: 2 в степени левая круглая скобка минус 3x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус 5 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка правая круглая скобка , знаменатель: 2 в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус 16 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0,x в квадрате не равно 1, совокупность выражений x больше 0,x меньше минус 2, конец системы . левая круглая скобка x в квадрате минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 2 правая круглая скобка больше или равно 0 конец совокупности . равносильно$

Корни уравнений, соответствующих неравенствам системы: $x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби = минус логарифм по основанию левая круглая скобка 4 правая круглая скобка 5$ и $x= минус 2$ для первого, $x=1,$ $x=2$ и корень чётной кратности $x= минус 1.$ Методом интервалов получаем ответ:

Ответ: $левая квадратная скобка минус \log _45; минус 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 1;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

2389

$левая квадратная скобка минус \log _45; минус 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 1;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	2389	$левая квадратная скобка минус \log _45; минус 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 1;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка .$