РЕШУ УРОК — алгебра

Задания

Тип 14 № 2387 Добавить в вариант

Логарифмические уравнения, неравенства, системы.55. Системы, содержащие неравенство с переменным основанием

Решите систему неравенств $система выражений новая строка дробь: числитель: 3 минус 4 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка , знаменатель: 2 минус 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка конец дроби больше или равно 1,5, новая строка \log _x в квадрате левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка меньше или равно 1 конец системы . .$

Решение. Используя теорему о знаках, сведём оба неравенства к более простым, которые решим методом интервалов:

$система выражений дробь: числитель: 3 минус 4 в степени x , знаменатель: 2 минус 2 в степени x конец дроби больше или равно 1,5, логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка меньше или равно 1 конец системы . равносильно система выражений дробь: числитель: 6 минус 2 умножить на 4 в степени x минус 6 плюс 3 умножить на 2 в степени x , знаменатель: 2 минус 2 в степени x конец дроби больше или равно 0, логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка меньше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка x в квадрате конец системы . равносильно система выражений дробь: числитель: 2 в степени x левая круглая скобка 2 умножить на 2 в степени x минус 3 правая круглая скобка , знаменатель: 2 в степени x минус 2 конец дроби больше или равно 0, левая круглая скобка x в квадрате минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс x минус 2 правая круглая скобка больше или равно 0, x не равно 0,x в квадрате не равно 1,x меньше 2. конец системы .$ $система выражений дробь: числитель: 3 минус 4 в степени x , знаменатель: 2 минус 2 в степени x конец дроби больше или равно 1,5, логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка меньше или равно 1 конец системы . равносильно система выражений дробь: числитель: 6 минус 2 умножить на 4 в степени x минус 6 плюс 3 умножить на 2 в степени x , знаменатель: 2 минус 2 в степени x конец дроби больше или равно 0, логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка меньше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка x в квадрате конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: 2 в степени x левая круглая скобка 2 умножить на 2 в степени x минус 3 правая круглая скобка , знаменатель: 2 в степени x минус 2 конец дроби больше или равно 0, левая круглая скобка x в квадрате минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс x минус 2 правая круглая скобка больше или равно 0, x не равно 0,x в квадрате не равно 1,x меньше 2. конец системы .$

Корни уравнения, соответствующего первому неравенству: $x=1$ и $x= логарифм по основанию 2 дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби ,$ корни уравнения, соответствующего второму неравенству: $x= минус 2,$ $x= минус 1$ и корень чётной кратности $x=1.$ Заметим, что $логарифм по основанию 2 дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби$ находится в промежутке между 0 и 1, так как число $дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби$ находится между 1 и 2. Методом интервалов получаем ответ:

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 2 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка минус 1;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0;\log _2 левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 1;2 правая круглая скобка .$

2387

$левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 2 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка минус 1;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0;\log _2 левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 1;2 правая круглая скобка .$

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	2387	$левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 2 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка минус 1;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0;\log _2 левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 1;2 правая круглая скобка .$