РЕШУ УРОК — алгебра

Задания

Тип 14 № 2385 Добавить в вариант

Логарифмические уравнения, неравенства, системы.55. Системы, содержащие неравенство с переменным основанием

Решите систему неравенств $система выражений новая строка 3 в степени левая круглая скобка 4x минус 1 правая круглая скобка плюс 3 в степени левая круглая скобка 4x плюс 1 правая круглая скобка больше или равно 80, новая строка \log _ дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка 4x в квадрате минус 3x плюс 1 правая круглая скобка больше или равно 0 конец системы . .$

Решение. Учтём ОДЗ и воспользуемся теоремой о знаке:

$система выражений 3 в степени левая круглая скобка 4x минус 1 правая круглая скобка x плюс 3 в степени левая круглая скобка 4x плюс 1 правая круглая скобка больше или равно 80, логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка 4x в квадрате минус 3x плюс 1 правая круглая скобка больше или равно 0 конец системы . равносильно система выражений дробь: числитель: 3 в степени левая круглая скобка 4x правая круглая скобка , знаменатель: 3 конец дроби плюс 3 в степени левая круглая скобка 4x правая круглая скобка умножить на 3 больше или равно 80, левая круглая скобка дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 4x в квадрате минус 3x плюс 1 минус 1 правая круглая скобка \geqslant0,x больше дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби , x не равно 2, x меньше дробь: числитель: 10, знаменатель: 3 конец дроби конец системы . равносильно система выражений 3 в степени левая круглая скобка 4x правая круглая скобка больше или равно 24,x левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка \geqslant0, дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби меньше x меньше дробь: числитель: 10, знаменатель: 3 конец дроби , x не равно 2 конец системы . равносильно$ $система выражений 3 в степени левая круглая скобка 4x минус 1 правая круглая скобка x плюс 3 в степени левая круглая скобка 4x плюс 1 правая круглая скобка больше или равно 80, логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка 4x в квадрате минус 3x плюс 1 правая круглая скобка больше или равно 0 конец системы . равносильно система выражений дробь: числитель: 3 в степени левая круглая скобка 4x правая круглая скобка , знаменатель: 3 конец дроби плюс 3 в степени левая круглая скобка 4x правая круглая скобка умножить на 3 больше или равно 80, левая круглая скобка дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 4x в квадрате минус 3x плюс 1 минус 1 правая круглая скобка \geqslant0,x больше дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби , x не равно 2, x меньше дробь: числитель: 10, знаменатель: 3 конец дроби конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений 3 в степени левая круглая скобка 4x правая круглая скобка больше или равно 24,x левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка \geqslant0, дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби меньше x меньше дробь: числитель: 10, знаменатель: 3 конец дроби , x не равно 2 конец системы . равносильно$ $система выражений 3 в степени левая круглая скобка 4x минус 1 правая круглая скобка x плюс 3 в степени левая круглая скобка 4x плюс 1 правая круглая скобка больше или равно 80, логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка 4x в квадрате минус 3x плюс 1 правая круглая скобка больше или равно 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: 3 в степени левая круглая скобка 4x правая круглая скобка , знаменатель: 3 конец дроби плюс 3 в степени левая круглая скобка 4x правая круглая скобка умножить на 3 больше или равно 80, левая круглая скобка дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 4x в квадрате минус 3x плюс 1 минус 1 правая круглая скобка \geqslant0,x больше дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби , x не равно 2, x меньше дробь: числитель: 10, знаменатель: 3 конец дроби конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений 3 в степени левая круглая скобка 4x правая круглая скобка больше или равно 24,x левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка \geqslant0, дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби меньше x меньше дробь: числитель: 10, знаменатель: 3 конец дроби , x не равно 2 конец системы . равносильно$

$равносильно система выражений x больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби логарифм по основанию 3 24, совокупность выражений 0 меньше или равно x меньше или равно дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби ,x больше или равно 2, конец системы . дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби меньше x меньше дробь: числитель: 10, знаменатель: 3 конец дроби ,x не равно 2 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x больше 2, дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби логарифм по основанию 3 24 меньше или равно x меньше или равно дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x больше 2, дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби левая круглая скобка логарифм по основанию 3 8 плюс 1 правая круглая скобка меньше или равно x меньше или равно дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби . конец совокупности .$ $равносильно система выражений x больше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби логарифм по основанию 3 24, совокупность выражений 0 меньше или равно x меньше или равно дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби ,x больше или равно 2, конец системы . дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби меньше x меньше дробь: числитель: 10, знаменатель: 3 конец дроби ,x не равно 2 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x больше 2, дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби логарифм по основанию 3 24 меньше или равно x меньше или равно дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x больше 2, дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби левая круглая скобка логарифм по основанию 3 8 плюс 1 правая круглая скобка меньше или равно x меньше или равно дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби . конец совокупности .$

Предпоследний переход был совершён с учётом того, что

$3 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби логарифм по основанию 3 24 правая круглая скобка меньше 3 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка равносильно корень 4 степени из: начало аргумента: 24 конец аргумента меньше корень 4 степени из: начало аргумента: 27 конец аргумента равносильно 24 меньше 27.$

Ответ: $левая квадратная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби левая круглая скобка \log _38 плюс 1 правая круглая скобка ; дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

2385

$левая квадратная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби левая круглая скобка \log _38 плюс 1 правая круглая скобка ; дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	2385	$левая квадратная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби левая круглая скобка \log _38 плюс 1 правая круглая скобка ; дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка .$