РЕШУ УРОК — алгебра

Задания

Тип 14 № 2357 Добавить в вариант

Логарифмические уравнения, неравенства, системы.52. Уравнения и неравенства (задания вступительных экзаменов)

Решите уравнения и неравенства (задания вступительных экзаменов) $\ левая квадратная скобка левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс 3 умножить на 2 в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2\log правая круглая скобка _2x минус \log _2 левая круглая скобка x плюс 6 правая круглая скобка больше 1.$

Решение. Для решения данного неравенства воспользуемся методом рационализации:

$левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс 3 умножить на 2 в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2\log правая круглая скобка _2x минус \log _2 левая круглая скобка x плюс 6 правая круглая скобка больше 1 равносильно левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс 3 умножить на 2 в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2\log правая круглая скобка _2x минус \log _2 левая круглая скобка x плюс 6 правая круглая скобка больше левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс 3 умножить на 2 в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка правая круглая скобка в степени 0 равносильно$ $левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс 3 умножить на 2 в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2\log правая круглая скобка _2x минус \log _2 левая круглая скобка x плюс 6 правая круглая скобка больше 1 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс 3 умножить на 2 в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2\log правая круглая скобка _2x минус \log _2 левая круглая скобка x плюс 6 правая круглая скобка больше левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс 3 умножить на 2 в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка правая круглая скобка в степени 0 равносильно$

$равносильно левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс 3 умножить на 2 в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2\log _2x минус \log _2 левая круглая скобка x плюс 6 правая круглая скобка } правая круглая скобка больше 0 равносильно$

$равносильно левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка минус 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 2\log _2x минус \log _2 левая круглая скобка x плюс 6 правая круглая скобка } правая круглая скобка больше 0 равносильно$

$равносильно левая круглая скобка левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате плюс дробь: числитель: 11, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка 2\log _2x минус \log _2 левая круглая скобка x плюс 6 правая круглая скобка } правая круглая скобка больше 0.$

Первый множитель левой части неравенства положителен при всех x, разделим на него. Имеем:

$2 логарифм по основанию 2 x минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 6 правая круглая скобка больше 0 равносильно система выражений x больше 0, логарифм по основанию 2 x в квадрате минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 6 правая круглая скобка больше 0 конец системы . равносильно система выражений x больше 0, левая круглая скобка 2 минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 6 правая круглая скобка больше 0 конец системы . равносильно$ $2 логарифм по основанию 2 x минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 6 правая круглая скобка больше 0 равносильно система выражений x больше 0, логарифм по основанию 2 x в квадрате минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 6 правая круглая скобка больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x больше 0, левая круглая скобка 2 минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 6 правая круглая скобка больше 0 конец системы . равносильно$ $2 логарифм по основанию 2 x минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 6 правая круглая скобка больше 0 равносильно$
$равносильно система выражений x больше 0, логарифм по основанию 2 x в квадрате минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 6 правая круглая скобка больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x больше 0, левая круглая скобка 2 минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 6 правая круглая скобка больше 0 конец системы . равносильно$

$равносильно система выражений x больше 0, совокупность выражений x больше 3,x меньше минус 2 конец системы . конец совокупности . равносильно x больше 3.$

Ответ: $левая круглая скобка 3; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

2357

$левая круглая скобка 3; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	2357	$левая круглая скобка 3; плюс бесконечность правая круглая скобка .$