РЕШУ УРОК — алгебра

Задания

Тип 14 № 2283 Добавить в вариант

Логарифмические уравнения, неравенства, системы.44. Неравенства (задания вступительных экзаменов)

Решите неравенство (задания вступительных экзаменов) $\log _4x2x минус \log _2x в квадрате 4x в квадрате меньше или равно минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби .$

Решение. Напомним, что $логарифм по основанию левая круглая скобка x правая круглая скобка y= дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка y конец дроби ,$ разумеется, на ОДЗ. Зная это, решим неравенство:

$логарифм по основанию левая круглая скобка 4x правая круглая скобка 2x минус логарифм по основанию левая круглая скобка 2x в квадрате правая круглая скобка 4x в квадрате \leqslant минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 2x правая круглая скобка 2 конец дроби минус левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 2x в квадрате правая круглая скобка 2 плюс 1 правая круглая скобка \leqslant минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x конец дроби конец дроби минус левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x плюс 1 конец дроби плюс 1 правая круглая скобка \leqslant минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби .$ $логарифм по основанию левая круглая скобка 4x правая круглая скобка 2x минус логарифм по основанию левая круглая скобка 2x в квадрате правая круглая скобка 4x в квадрате \leqslant минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 2x правая круглая скобка 2 конец дроби минус левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 2x в квадрате правая круглая скобка 2 плюс 1 правая круглая скобка \leqslant минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x конец дроби конец дроби минус левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x плюс 1 конец дроби плюс 1 правая круглая скобка \leqslant минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби .$

Введем замену: пусть $t= логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x.$ Тогда:

$дробь: числитель: 1, знаменатель: дробь: числитель: 1, знаменатель: t плюс 1 конец дроби плюс 1 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2t плюс 1 конец дроби минус 1\geqslant минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби равносильно дробь: числитель: 3t левая круглая скобка 2t плюс 3 правая круглая скобка правая круглая скобка , знаменатель: 2 левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 2t плюс 1 правая круглая скобка конец дроби \leqslant0 равносильно совокупность выражений t\leqslant0,t больше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,t\leqslant минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби ,t больше минус 2. конец совокупности .$

Вернемся к исходной переменной, не забыв про ОДЗ. Получаем:

$система выражений совокупность выражений логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x\leqslant0, логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x больше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x\leqslant минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби , логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x больше минус 2 конец системы . ,x больше 0,x не равно \pm дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,x не равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ,x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби ,x больше дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби ,x\leqslant1. конец совокупности .$

Ответ: $левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби ;1 правая квадратная скобка .$

2283

$левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби ;1 правая квадратная скобка .$

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	2283	$левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби ;1 правая квадратная скобка .$