РЕШУ УРОК — алгебра

Задания

Тип 14 № 2280 Добавить в вариант

Логарифмические уравнения, неравенства, системы.44. Неравенства (задания вступительных экзаменов)

Решите неравенство (задания вступительных экзаменов) $\log _\tfracx9 дробь: числитель: x, знаменатель: 27 конец дроби больше или равно \log _3x в квадрате .$

Решение. Преобразуем неравенство и введём замену:

$дробь: числитель: логарифм по основанию 3 дробь: числитель: x, знаменатель: 27 конец дроби , знаменатель: логарифм по основанию 3 дробь: числитель: x, знаменатель: 9 конец дроби конец дроби больше или равно логарифм по основанию 3 x в квадрате равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 3 x минус логарифм по основанию 3 27, знаменатель: логарифм по основанию 3 x минус логарифм по основанию 3 9 конец дроби больше или равно логарифм по основанию 3 x в квадрате равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 3 x минус 3, знаменатель: логарифм по основанию 3 x минус 2 конец дроби больше или равно 2 логарифм по основанию 3 x.$

Пусть $логарифм по основанию 3 x=t,$ тогда

$дробь: числитель: t минус 3, знаменатель: t минус 2 конец дроби больше или равно 2t равносильно дробь: числитель: t минус 3, знаменатель: t минус 2 конец дроби минус 2t больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: t минус 3 минус 2t левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка , знаменатель: t минус 2 конец дроби больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: t минус 3 минус 2t в квадрате плюс 4t, знаменатель: t минус 2 конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: минус 2t в квадрате плюс 5t минус 3, знаменатель: t минус 2 конец дроби больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: 2t в квадрате минус 5t плюс 3, знаменатель: t минус 2 конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2t минус 3 правая круглая скобка , знаменатель: t минус 2 конец дроби меньше или равно 0 равносильно совокупность выражений t меньше или равно 1, дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно t меньше 2. конец совокупности .$ $дробь: числитель: t минус 3, знаменатель: t минус 2 конец дроби больше или равно 2t равносильно дробь: числитель: t минус 3, знаменатель: t минус 2 конец дроби минус 2t больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: t минус 3 минус 2t левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка , знаменатель: t минус 2 конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: t минус 3 минус 2t в квадрате плюс 4t, знаменатель: t минус 2 конец дроби больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: минус 2t в квадрате плюс 5t минус 3, знаменатель: t минус 2 конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 2t в квадрате минус 5t плюс 3, знаменатель: t минус 2 конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2t минус 3 правая круглая скобка , знаменатель: t минус 2 конец дроби меньше или равно 0 равносильно совокупность выражений t меньше или равно 1, дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно t меньше 2. конец совокупности .$ $дробь: числитель: t минус 3, знаменатель: t минус 2 конец дроби больше или равно 2t равносильно дробь: числитель: t минус 3, знаменатель: t минус 2 конец дроби минус 2t больше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: t минус 3 минус 2t левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка , знаменатель: t минус 2 конец дроби больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: t минус 3 минус 2t в квадрате плюс 4t, знаменатель: t минус 2 конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: минус 2t в квадрате плюс 5t минус 3, знаменатель: t минус 2 конец дроби больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: 2t в квадрате минус 5t плюс 3, знаменатель: t минус 2 конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2t минус 3 правая круглая скобка , знаменатель: t минус 2 конец дроби меньше или равно 0 равносильно совокупность выражений t меньше или равно 1, дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно t меньше 2. конец совокупности .$

Вернёмся к исходной переменной:

$совокупность выражений логарифм по основанию 3 x меньше или равно 1, дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно логарифм по основанию 3 x меньше 2 конец совокупности . равносильно совокупность выражений 0 меньше x меньше или равно 3,3 корень из 3 меньше или равно x меньше 9. конец совокупности .$

Ответ: $левая круглая скобка 0;3 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 3 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ;9 правая круглая скобка .$

2280

$левая круглая скобка 0;3 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 3 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ;9 правая круглая скобка .$

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	2280	$левая круглая скобка 0;3 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 3 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ;9 правая круглая скобка .$