РЕШУ УРОК — алгебра

Задания

Тип 14 № 2279 Добавить в вариант

Логарифмические уравнения, неравенства, системы.44. Неравенства (задания вступительных экзаменов)

Решите неравенство (задания вступительных экзаменов) $дробь: числитель: 1, знаменатель: \log _2x8x конец дроби меньше или равно \log _x16x.$

Решение. Напомним, что $логарифм по основанию левая круглая скобка x правая круглая скобка y= дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка y правая круглая скобка x конец дроби ,$ разумеется, на ОДЗ. Зная это, решим неравенство:

$дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2x правая круглая скобка 8x конец дроби меньше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка x правая круглая скобка 16x равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2x правая круглая скобка 2x плюс 2 логарифм по основанию левая круглая скобка 2x правая круглая скобка 2 конец дроби \leqslant1 плюс 4 логарифм по основанию левая круглая скобка x правая круглая скобка 2 равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 плюс 2 левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x плюс 1 конец дроби правая круглая скобка конец дроби \leqslant1 плюс 4 левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x конец дроби правая круглая скобка$ $дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2x правая круглая скобка 8x конец дроби меньше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка x правая круглая скобка 16x равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2x правая круглая скобка 2x плюс 2 логарифм по основанию левая круглая скобка 2x правая круглая скобка 2 конец дроби \leqslant1 плюс 4 логарифм по основанию левая круглая скобка x правая круглая скобка 2 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 плюс 2 левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x плюс 1 конец дроби правая круглая скобка конец дроби \leqslant1 плюс 4 левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x конец дроби правая круглая скобка$ $дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2x правая круглая скобка 8x конец дроби меньше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка x правая круглая скобка 16x равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2x правая круглая скобка 2x плюс 2 логарифм по основанию левая круглая скобка 2x правая круглая скобка 2 конец дроби \leqslant1 плюс 4 логарифм по основанию левая круглая скобка x правая круглая скобка 2 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 плюс 2 левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x плюс 1 конец дроби правая круглая скобка конец дроби \leqslant1 плюс 4 левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x конец дроби правая круглая скобка$

Пусть $логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x=t,$ тогда:

$дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 плюс левая круглая скобка дробь: числитель: 2, знаменатель: 1 плюс t конец дроби правая круглая скобка конец дроби \leqslant1 плюс дробь: числитель: 4, знаменатель: t конец дроби равносильно дробь: числитель: минус 2t минус 2, знаменатель: t левая круглая скобка 3 плюс t правая круглая скобка конец дроби \leqslant0 равносильно совокупность выражений t больше 0,t\leqslant минус 2, t\geqslant минус 3. конец совокупности .$

Вернемся к исходной переменной:

$система выражений совокупность выражений логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x\geqslant0, логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x\leqslant минус 2 логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка x больше минус 3, конец системы . ,x больше 0,x не равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,x не равно 1 конец совокупности . равносильно система выражений x больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби ,x меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ,x больше 1. конец системы .$

Ответ: $левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 1; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

2279

$левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 1; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	2279	$левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 1; плюс бесконечность правая круглая скобка .$