РЕШУ УРОК — алгебра

Задания

Тип 14 № 2276 Добавить в вариант

Логарифмические уравнения, неравенства, системы.44. Неравенства (задания вступительных экзаменов)

Решите неравенство (задания вступительных экзаменов) $\log _x2 умножить на \log _2x2 больше \log _4x2.$

Решение. Преобразуем неравенство и введём замену:

$дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 2 x конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 2 2x конец дроби больше дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 2 4x конец дроби равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 2 x конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 2 2 плюс логарифм по основанию 2 x конец дроби больше дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 2 4 плюс логарифм по основанию 2 x конец дроби .$

Пусть $логарифм по основанию 2 x=t,$ тогда

$дробь: числитель: 1, знаменатель: t конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 плюс t конец дроби больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 плюс t конец дроби равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: t левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 плюс t конец дроби больше 0 равносильно дробь: числитель: t плюс 2 минус t левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: t левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка конец дроби больше 0 равносильно дробь: числитель: t плюс 2 минус t в квадрате минус t, знаменатель: t левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка конец дроби больше 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 2 минус t в квадрате , знаменатель: t левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка конец дроби больше 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка , знаменатель: t левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка конец дроби меньше 0 равносильно совокупность выражений t меньше минус 2, минус корень из 2 меньше t меньше минус 1, 0 меньше t меньше корень из 2 . конец совокупности .$ $дробь: числитель: 1, знаменатель: t конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 плюс t конец дроби больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 плюс t конец дроби равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: t левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 плюс t конец дроби больше 0 равносильно дробь: числитель: t плюс 2 минус t левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: t левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка конец дроби больше 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: t плюс 2 минус t в квадрате минус t, знаменатель: t левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка конец дроби больше 0 равносильно дробь: числитель: 2 минус t в квадрате , знаменатель: t левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка конец дроби больше 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка , знаменатель: t левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка конец дроби меньше 0 равносильно совокупность выражений t меньше минус 2, минус корень из 2 меньше t меньше минус 1, 0 меньше t меньше корень из 2 . конец совокупности .$ $дробь: числитель: 1, знаменатель: t конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 плюс t конец дроби больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 плюс t конец дроби равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: t левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 плюс t конец дроби больше 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: t плюс 2 минус t левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: t левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка конец дроби больше 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: t плюс 2 минус t в квадрате минус t, знаменатель: t левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка конец дроби больше 0 равносильно дробь: числитель: 2 минус t в квадрате , знаменатель: t левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка конец дроби больше 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка , знаменатель: t левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка конец дроби меньше 0 равносильно совокупность выражений t меньше минус 2, минус корень из 2 меньше t меньше минус 1, 0 меньше t меньше корень из 2 . конец совокупности .$

Вернёмся к исходной переменной:

$совокупность выражений логарифм по основанию 2 x меньше минус 2, минус корень из 2 меньше логарифм по основанию 2 x меньше минус 1, 0 меньше логарифм по основанию 2 x меньше корень из 2 . конец совокупности . равносильно совокупность выражений 0 меньше x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ,2 в степени левая круглая скобка минус корень из 2 правая круглая скобка меньше x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , 1 меньше x меньше 2 в степени левая круглая скобка корень из 2 правая круглая скобка . конец совокупности .$

Ответ: $левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1;2 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка правая круглая скобка .$

2276

$левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1;2 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка правая круглая скобка .$

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	2276	$левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1;2 в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка правая круглая скобка .$