РЕШУ УРОК — алгебра

Задания

Тип 14 № 2274 Добавить в вариант

Логарифмические уравнения, неравенства, системы.44. Неравенства (задания вступительных экзаменов)

Решите неравенство (задания вступительных экзаменов) $\log _2x плюс 24 плюс \log _ левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате 8 меньше 1.$

Решение. Перейдём к основанию 2 и сведём неравенство к рациональному относительно логарифма:

$логарифм по основанию левая круглая скобка 2x плюс 2 правая круглая скобка 4 плюс логарифм по основанию левая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка 8 равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка конец дроби меньше 1 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 5, знаменатель: 6 конец дроби логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка плюс 1 правая круглая скобка конец дроби меньше 0$ $логарифм по основанию левая круглая скобка 2x плюс 2 правая круглая скобка 4 плюс логарифм по основанию левая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка 8 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка конец дроби меньше 1 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 5, знаменатель: 6 конец дроби логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка плюс 1 правая круглая скобка конец дроби меньше 0$

Введем замену: $логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка =t:$

$дробь: числитель: минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби t в квадрате плюс дробь: числитель: 5, знаменатель: 6 конец дроби t плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , знаменатель: t левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка конец дроби меньше 0 равносильно совокупность выражений t больше 3, t меньше 0, t больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , t меньше минус 1. конец совокупности .$

Вернемся к исходной переменной и решим неравенство, не забыв про ОДЗ:

$система выражений x плюс 1 больше 0,x плюс 1 не равно 1, совокупность выражений логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка больше 3, логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка меньше 0, логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , логарифм по основанию левая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка меньше минус 1. конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений x больше минус 1,x меньше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,x больше 2 в степени левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка минус 1, x меньше 0, x больше 7. конец совокупности .$

Ответ: $левая круглая скобка минус 1; минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка минус 1;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 7; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

2274

$левая круглая скобка минус 1; минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка минус 1;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 7; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	2274	$левая круглая скобка минус 1; минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка минус 1;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 7; плюс бесконечность правая круглая скобка .$