РЕШУ УРОК — алгебра

Задания

Тип 14 № 2222 Добавить в вариант

Логарифмические уравнения, неравенства, системы.38. Неравенства (задания вступительных экзаменов)

Решите неравенство (задания вступительных экзаменов) $логарифм по основанию левая круглая скобка 3x правая круглая скобка в квадрате 9x в кубе больше или равно \log _3x9x плюс 2.$

Решение. Перейдем к новому числовому основанию:

$логарифм по основанию левая круглая скобка 3x правая круглая скобка в квадрате 9x в кубе больше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка 3x правая круглая скобка 9x плюс 2 равносильно левая круглая скобка дробь: числитель: логарифм по основанию 3 9x в кубе , знаменатель: логарифм по основанию 3 3x конец дроби правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка дробь: числитель: логарифм по основанию 3 9x, знаменатель: логарифм по основанию 3 3x конец дроби правая круглая скобка минус 2 больше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка дробь: числитель: 2 плюс 3 логарифм по основанию 3 x, знаменатель: 1 плюс логарифм по основанию 3 x конец дроби правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка дробь: числитель: 2 плюс логарифм по основанию 3 x, знаменатель: 1 плюс логарифм по основанию 3 x конец дроби правая круглая скобка минус 2\geqslant0 равносильно$ $логарифм по основанию левая круглая скобка 3x правая круглая скобка в квадрате 9x в кубе больше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка 3x правая круглая скобка 9x плюс 2 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка дробь: числитель: логарифм по основанию 3 9x в кубе , знаменатель: логарифм по основанию 3 3x конец дроби правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка дробь: числитель: логарифм по основанию 3 9x, знаменатель: логарифм по основанию 3 3x конец дроби правая круглая скобка минус 2 больше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка дробь: числитель: 2 плюс 3 логарифм по основанию 3 x, знаменатель: 1 плюс логарифм по основанию 3 x конец дроби правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка дробь: числитель: 2 плюс логарифм по основанию 3 x, знаменатель: 1 плюс логарифм по основанию 3 x конец дроби правая круглая скобка минус 2\geqslant0 равносильно$

$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 2 плюс 3 логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка 2 плюс логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка минус 2 левая круглая скобка 1 плюс логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: левая круглая скобка 1 плюс логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка в квадрате конец дроби больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: 6 логарифм по основанию 3 в квадрате x плюс 5 логарифм по основанию 3 x, знаменатель: левая круглая скобка 1 плюс логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка в квадрате конец дроби больше или равно 0.$ $равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 2 плюс 3 логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка 2 плюс логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка минус 2 левая круглая скобка 1 плюс логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: левая круглая скобка 1 плюс логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка в квадрате конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 6 логарифм по основанию 3 в квадрате x плюс 5 логарифм по основанию 3 x, знаменатель: левая круглая скобка 1 плюс логарифм по основанию 3 x правая круглая скобка в квадрате конец дроби больше или равно 0.$

Пусть $t= логарифм по основанию 3 x,$ тогда имеем:

$дробь: числитель: 6t в квадрате плюс 5t, знаменатель: левая круглая скобка 1 плюс t правая круглая скобка в квадрате конец дроби больше или равно 0 равносильно совокупность выражений t меньше 1, 1 меньше t меньше минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 6 конец дроби , t больше или равно 0. конец совокупности .$

Вернемся к исходной переменной:

$совокупность выражений логарифм по основанию 3 x меньше 1, 1 меньше логарифм по основанию 3 x\leqslant минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 6 конец дроби , логарифм по основанию 3 x больше или равно 0 конец совокупности . равносильно система выражений x больше 0, совокупность выражений x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби , дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби меньше x меньше 3 в степени левая круглая скобка минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка , x больше или равно 1 конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений 0 меньше x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби , дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби меньше x меньше 3 в степени левая круглая скобка минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка , x больше или равно 1. конец совокупности .$

Ответ: $левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ;3 в степени левая круглая скобка минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 1; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

2222

$левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ;3 в степени левая круглая скобка минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 1; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	2222	$левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ;3 в степени левая круглая скобка минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 1; плюс бесконечность правая круглая скобка .$