РЕШУ УРОК — алгебра

Задания

Тип 14 № 2176 Добавить в вариант

Логарифмические уравнения, неравенства, системы.34. Неравенства, содержащие

log_a y^n

Решите неравенство $\log _5 левая круглая скобка x минус 8 правая круглая скобка в квадрате больше или равно 2 плюс 2\log _5 левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка .$

Решение. Представим 2 в виде $логарифм по основанию 5 5,$ внесем коэффициент 2 под знак логарифма, используем формулу разности квадратов:

$\log _5 левая круглая скобка x минус 8 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка больше или равно 2 плюс 2\log _5 левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка равносильно \log _5 левая круглая скобка x минус 8 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка больше или равно 2\log _5 левая круглая скобка 5x минус 10 правая круглая скобка \underset5 больше 1\mathop равносильно$

$\underset5 больше 1\mathop равносильно система выражений новая строка x минус 2 больше 0, новая строка \log _5 левая круглая скобка x минус 8 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка больше или равно \log _5 левая круглая скобка 5x минус 10 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка конец системы . равносильно система выражений новая строка x минус 2 больше 0, новая строка левая круглая скобка x минус 8 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка больше или равно левая круглая скобка 5x минус 10 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка x больше 2, новая строка 2x в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка минус 7x плюс 3 меньше или равно 0 конец системы . равносильно 2 меньше x меньше или равно 3.$ $\underset5 больше 1\mathop равносильно система выражений новая строка x минус 2 больше 0, новая строка \log _5 левая круглая скобка x минус 8 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка больше или равно \log _5 левая круглая скобка 5x минус 10 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка x минус 2 больше 0, новая строка левая круглая скобка x минус 8 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка больше или равно левая круглая скобка 5x минус 10 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка x больше 2, новая строка 2x в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка минус 7x плюс 3 меньше или равно 0 конец системы . равносильно 2 меньше x меньше или равно 3.$

Ответ: $левая круглая скобка 2;3 правая квадратная скобка .$

Примечание.

Можно вынести 2 из-под знака логарифма, сократить на 2, получить неравенство с модулем:

$логарифм по основанию 5 |x минус 8| больше или равно 1 плюс \log _5 левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка равносильно логарифм по основанию 5 |x минус 8| больше или равно логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 5x минус 10 правая круглая скобка \underset5 больше 1\mathop равносильно \. |x минус 8| больше или равно 5x минус 10.$ $логарифм по основанию 5 |x минус 8| больше или равно 1 плюс \log _5 левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 5 |x минус 8| больше или равно логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 5x минус 10 правая круглая скобка \underset5 больше 1\mathop равносильно \. |x минус 8| больше или равно 5x минус 10.$

Ответ: $левая круглая скобка 2;3 правая квадратная скобка .$

2176

$левая круглая скобка 2;3 правая квадратная скобка .$

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	2176	$левая круглая скобка 2;3 правая квадратная скобка .$