РЕШУ УРОК — алгебра

Задания

Тип 12 № 1769 Добавить в вариант

Показательные выражения, уравнения, неравенства, системы.43. Системы неравенств

Решите систему неравенств $система выражений новая строка 0,5 в степени левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка плюс 0,5 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка плюс 0,5 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка больше или равно 2, новая строка 4 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 7 умножить на 10 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс 10 умножить на 25 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка больше 0 конец системы .$

Решение. Преобразуем первое неравенство:

$0,5 в степени x умножить на 0,5 в степени левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка плюс 0,5 в степени x умножить на 0,5 в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка плюс 0,5 в степени x больше или равно 2 равносильно 0,5 в степени x умножить на 4 плюс 0,5 в степени x умножить на 2 плюс 0,5 в степени x больше или равно 2 равносильно$
$равносильно 7 умножить на 0,5 в степени x больше или равно 2 равносильно дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 в степени x конец дроби больше или равно 2 равносильно 2 в степени x меньше или равно дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 конец дроби равносильно x меньше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка 0,5 правая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 14 конец дроби .$ $0,5 в степени x умножить на 0,5 в степени левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка плюс 0,5 в степени x умножить на 0,5 в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка плюс 0,5 в степени x больше или равно 2 равносильно$
$равносильно 0,5 в степени x умножить на 4 плюс 0,5 в степени x умножить на 2 плюс 0,5 в степени x больше или равно 2 равносильно 7 умножить на 0,5 в степени x больше или равно 2 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 в степени x конец дроби больше или равно 2 равносильно 2 в степени x меньше или равно дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 конец дроби равносильно x меньше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка 0,5 правая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 14 конец дроби .$

Второе неравенство поделим на $4 в степени x$ и тоже преобразуем:

$10 левая круглая скобка дробь: числитель: 25, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка в степени x минус 7 левая круглая скобка дробь: числитель: 10, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка в степени x плюс 1 больше 0 равносильно 10 левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка минус 7 левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени x плюс 1 больше 0.$

Пусть $левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени x =t,$ $t больше 0.$ Тогда:

$10t в квадрате минус 7t плюс 1 больше 0 равносильно левая круглая скобка 5t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2t минус 1 правая круглая скобка больше 0 равносильно совокупность выражений t меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби ,t больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений 0 меньше t меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби ,t больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби . конец совокупности .$

Вернёмся к исходной переменной:

$совокупность выражений 0 меньше левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби , левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени x больше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений x меньше логарифм по основанию левая круглая скобка 0,4 правая круглая скобка 5,x больше логарифм по основанию левая круглая скобка 0,4 правая круглая скобка 2. конец совокупности .$

Очевидно, что $логарифм по основанию левая круглая скобка 0,4 правая круглая скобка 2 меньше 0 меньше логарифм по основанию целая часть: 2, дробная часть: числитель: 7, знаменатель: 2 .$

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность ;\log _0,45 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка \log _0,42;\log _2 левая круглая скобка дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка правая квадратная скобка .$

1769

$левая круглая скобка минус бесконечность ;\log _0,45 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка \log _0,42;\log _2 левая круглая скобка дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка правая квадратная скобка .$

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	1769	$левая круглая скобка минус бесконечность ;\log _0,45 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка \log _0,42;\log _2 левая круглая скобка дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка правая квадратная скобка .$