РЕШУ УРОК — алгебра

Задания

Тип 12 № 1707 Добавить в вариант

Показательные выражения, уравнения, неравенства, системы.35. Уравнения с параметром

Решите уравнение с параметром $дробь: числитель: 5 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс a умножить на 3 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка , знаменатель: 5 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка a минус 3 правая круглая скобка умножить на 3 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка конец дроби =a.$

Решение. Разделим числитель и знаменатель правой части на $3 в степени x не равно 0.$ Пусть $t= левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка в степени x ,$ $t больше 0.$ Получим:

$дробь: числитель: t плюс a, знаменатель: 5t плюс a минус 3 конец дроби =a равносильно дробь: числитель: t плюс a, знаменатель: 5t плюс a минус 3 конец дроби минус a=0 равносильно дробь: числитель: t плюс a минус a левая круглая скобка 5t плюс a минус 3 правая круглая скобка , знаменатель: 5t плюс a минус 3 конец дроби =0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: t плюс a минус 5at минус a в квадрате плюс 3a, знаменатель: 5t плюс a минус 3 конец дроби =0 равносильно дробь: числитель: t левая круглая скобка 1 минус 5a правая круглая скобка плюс 4a минус a в квадрате , знаменатель: 5t плюс a минус 3 конец дроби =0.$ $дробь: числитель: t плюс a, знаменатель: 5t плюс a минус 3 конец дроби =a равносильно дробь: числитель: t плюс a, знаменатель: 5t плюс a минус 3 конец дроби минус a=0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: t плюс a минус a левая круглая скобка 5t плюс a минус 3 правая круглая скобка , знаменатель: 5t плюс a минус 3 конец дроби =0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: t плюс a минус 5at минус a в квадрате плюс 3a, знаменатель: 5t плюс a минус 3 конец дроби =0 равносильно дробь: числитель: t левая круглая скобка 1 минус 5a правая круглая скобка плюс 4a минус a в квадрате , знаменатель: 5t плюс a минус 3 конец дроби =0.$ $дробь: числитель: t плюс a, знаменатель: 5t плюс a минус 3 конец дроби =a равносильно дробь: числитель: t плюс a, знаменатель: 5t плюс a минус 3 конец дроби минус a=0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: t плюс a минус a левая круглая скобка 5t плюс a минус 3 правая круглая скобка , знаменатель: 5t плюс a минус 3 конец дроби =0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: t плюс a минус 5at минус a в квадрате плюс 3a, знаменатель: 5t плюс a минус 3 конец дроби =0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: t левая круглая скобка 1 минус 5a правая круглая скобка плюс 4a минус a в квадрате , знаменатель: 5t плюс a минус 3 конец дроби =0.$

Значит, числитель должен быть равен нулю и при этом знаменатель не должен быть равен нулю.

Корень числителя это $дробь: числитель: a в квадрате минус 4a, знаменатель: 1 минус 5a конец дроби ,$ при этом при $a= дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби$ корней у числителя нет.

Корень знаменателя это $дробь: числитель: 3 минус a, знаменатель: 5 конец дроби .$ Сразу выясним, когда они совпадают:

$дробь: числитель: 3 минус a, знаменатель: 5 конец дроби = дробь: числитель: a в квадрате минус 4a, знаменатель: 1 минус 5a конец дроби равносильно дробь: числитель: a в квадрате минус 4a, знаменатель: 1 минус 5a конец дроби минус дробь: числитель: 3 минус a, знаменатель: 5 конец дроби =0 равносильно дробь: числитель: 5 левая круглая скобка a в квадрате минус 4a правая круглая скобка минус левая круглая скобка 3 минус a правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус 5a правая круглая скобка , знаменатель: 1 минус 5a конец дроби =0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 5a в квадрате минус 20a минус 3 плюс a плюс 15a минус 5a в квадрате , знаменатель: 1 минус 5a конец дроби =0 равносильно дробь: числитель: минус 3 минус 4a, знаменатель: 1 минус 5a конец дроби =0 равносильно дробь: числитель: 4a плюс 3, знаменатель: 5a минус 1 конец дроби =0 равносильно a= минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби .$ $дробь: числитель: 3 минус a, знаменатель: 5 конец дроби = дробь: числитель: a в квадрате минус 4a, знаменатель: 1 минус 5a конец дроби равносильно дробь: числитель: a в квадрате минус 4a, знаменатель: 1 минус 5a конец дроби минус дробь: числитель: 3 минус a, знаменатель: 5 конец дроби =0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 5 левая круглая скобка a в квадрате минус 4a правая круглая скобка минус левая круглая скобка 3 минус a правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус 5a правая круглая скобка , знаменатель: 1 минус 5a конец дроби =0 равносильно дробь: числитель: 5a в квадрате минус 20a минус 3 плюс a плюс 15a минус 5a в квадрате , знаменатель: 1 минус 5a конец дроби =0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: минус 3 минус 4a, знаменатель: 1 минус 5a конец дроби =0 равносильно дробь: числитель: 4a плюс 3, знаменатель: 5a минус 1 конец дроби =0 равносильно a= минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби .$ $дробь: числитель: 3 минус a, знаменатель: 5 конец дроби = дробь: числитель: a в квадрате минус 4a, знаменатель: 1 минус 5a конец дроби равносильно дробь: числитель: a в квадрате минус 4a, знаменатель: 1 минус 5a конец дроби минус дробь: числитель: 3 минус a, знаменатель: 5 конец дроби =0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 5 левая круглая скобка a в квадрате минус 4a правая круглая скобка минус левая круглая скобка 3 минус a правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус 5a правая круглая скобка , знаменатель: 1 минус 5a конец дроби =0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 5a в квадрате минус 20a минус 3 плюс a плюс 15a минус 5a в квадрате , знаменатель: 1 минус 5a конец дроби =0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: минус 3 минус 4a, знаменатель: 1 минус 5a конец дроби =0 равносильно дробь: числитель: 4a плюс 3, знаменатель: 5a минус 1 конец дроби =0 равносильно a= минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби .$

При таком a тоже нет корней.

Наконец, нужно, чтобы корень числитель был положителен:

$дробь: числитель: a в квадрате минус 4a, знаменатель: 1 минус 5a конец дроби больше 0 равносильно дробь: числитель: a левая круглая скобка a минус 4 правая круглая скобка , знаменатель: 1 минус 5a конец дроби больше 0 равносильно совокупность выражений a меньше 0, дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби меньше a меньше 4. конец совокупности .$

Итак, $t= дробь: числитель: a в квадрате минус 4a, знаменатель: 1 минус 5a конец дроби ,$ откуда $x= логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac53 правая круглая скобка дробь: числитель: a в квадрате минус 4a, знаменатель: 1 минус 5a конец дроби$ при $a принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби ; 0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби ; 4 правая круглая скобка .$ При прочих a корней нет.

Ответ: при $a принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби ; 0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби ; 4 правая круглая скобка :$ $левая фигурная скобка логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac53 правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: a в квадрате минус 4a, знаменатель: 1 минус 5a конец дроби правая круглая скобка правая фигурная скобка ,$ при прочих a корней нет.

1707

при $a принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби ; 0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби ; 4 правая круглая скобка :$ $левая фигурная скобка логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac53 правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: a в квадрате минус 4a, знаменатель: 1 минус 5a конец дроби правая круглая скобка правая фигурная скобка ,$ при прочих a корней нет.

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	1707	при $a принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби ; 0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби ; 4 правая круглая скобка :$ $левая фигурная скобка логарифм по основанию левая круглая скобка \tfrac53 правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: a в квадрате минус 4a, знаменатель: 1 минус 5a конец дроби правая круглая скобка правая фигурная скобка ,$ при прочих a корней нет.