РЕШУ УРОК — алгебра

Задания

Тип 12 № 1697 Добавить в вариант

Показательные выражения, уравнения, неравенства, системы.34. Определите, при каких значениях параметра

Определите, при каких значениях параметра уравнение $левая круглая скобка p минус 4 правая круглая скобка 9 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс левая круглая скобка p плюс 1 правая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс 2p минус 1=0$ не имеет решений.

Решение. Пусть $t=3 в степени x ,$ тогда

$левая круглая скобка p минус 4 правая круглая скобка t в квадрате плюс левая круглая скобка p плюс 1 правая круглая скобка t плюс 2p минус 1=0.$

При $p=4$ полученное уравнение принимает линейный вид $5t плюс 7=0$ и имеет корень $t = минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 5 конец дроби .$ Возвращаясь к исходной переменной, получаем уравнение $2 в степени x = минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 5 конец дроби ,$ которое не имеет решений.

Если $p не равно 4,$ то уравнение является квадратным. Чтобы исходное уравнение не имело корней, это квадратное уравнение должно:

− не иметь корней (случай 1);

− иметь единственный корень, не больший нуля (случай 2);

− иметь два корня, каждый из который не больше нуля (случай 3).

Случай 1. Дискриминант квадратного уравнения должен быть меньше нуля:

$левая круглая скобка p плюс 1 правая круглая скобка в квадрате минус 4 левая круглая скобка p минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка 2p минус 1 правая круглая скобка меньше 0 равносильно p в квадрате плюс 2p плюс 1 минус 8p в квадрате плюс 36p минус 16 меньше 0 равносильно$
$равносильно 7p в квадрате минус 38p плюс 15 меньше 0 равносильно совокупность выражений p больше 5,p меньше дробь: числитель: 3, знаменатель: 7 конец дроби . конец совокупности .$ $левая круглая скобка p плюс 1 правая круглая скобка в квадрате минус 4 левая круглая скобка p минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка 2p минус 1 правая круглая скобка меньше 0 равносильно$
$равносильно p в квадрате плюс 2p плюс 1 минус 8p в квадрате плюс 36p минус 16 меньше 0 равносильно$
$равносильно 7p в квадрате минус 38p плюс 15 меньше 0 равносильно совокупность выражений p больше 5,p меньше дробь: числитель: 3, знаменатель: 7 конец дроби . конец совокупности .$

Случай 2. Чтобы выполнялся второй случай, квадратный трехчлен

$f левая круглая скобка t правая круглая скобка = левая круглая скобка p минус 4 правая круглая скобка t в квадрате плюс левая круглая скобка p плюс 1 правая круглая скобка t плюс 2p минус 1,$

должен удовлетворять системе $система выражений D=0,t_в\leqslant0, конец системы .$ откуда находим:

$система выражений 7p в квадрате минус 38p плюс 15=0 , дробь: числитель: p плюс 1, знаменатель: 2 левая круглая скобка p минус 4 правая круглая скобка конец дроби \geqslant0 конец системы . равносильно система выражений совокупность выражений p=5,p= дробь: числитель: 3, знаменатель: 7 конец дроби , конец системы . дробь: числитель: p плюс 1, знаменатель: 2 левая круглая скобка p минус 4 правая круглая скобка конец дроби \geqslant0 конец совокупности . равносильно p=5$

Случай 3. Необходимо и достаточно выполнения системы $система выражений D больше 0, левая круглая скобка p минус 4 правая круглая скобка f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка \geqslant0,t_в меньше 0 конец системы .$ откуда

$система выражений дробь: числитель: 3, знаменатель: 7 конец дроби меньше p меньше 5, левая круглая скобка p минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка 2p минус 1 правая круглая скобка \geqslant0, дробь: числитель: p плюс 1, знаменатель: 2 левая круглая скобка p минус 4 правая круглая скобка конец дроби больше 0 конец системы . равносильно 4 меньше p меньше 5$

Объединяя рассмотренные случаи, находим $p меньше дробь: числитель: 3, знаменатель: 7 конец дроби$ и $p больше или равно 4.$

Ответ: $p принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; дробь: числитель: 3, знаменатель: 7 конец дроби правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 4; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

1697

$p принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; дробь: числитель: 3, знаменатель: 7 конец дроби правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 4; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	1697	$p принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; дробь: числитель: 3, знаменатель: 7 конец дроби правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 4; плюс бесконечность правая круглая скобка .$