Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 11 № 1300
i

Ре­ши­те не­ра­вен­ство вне­се­ни­ем мно­жи­те­ля под знак ра­ди­ка­ла  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 4x минус 1, зна­ме­на­тель: x конец дроби конец ар­гу­мен­та боль­ше дробь: чис­ли­тель: 8x в квад­ра­те минус 2x минус 3, зна­ме­на­тель: x конец дроби .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Раз­бе­рем два слу­чая.

1)  Пусть x боль­ше 0. До­мно­жим не­ра­вен­ство на x, по­лу­чим:

x ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 4x минус 1, зна­ме­на­тель: x конец дроби конец ар­гу­мен­та боль­ше 8x в квад­ра­те минус 2x минус 3 рав­но­силь­но ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4x в квад­ра­те минус x конец ар­гу­мен­та боль­ше 2 левая круг­лая скоб­ка 4x в квад­ра­те минус x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 3.

Пусть  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4x в квад­ра­те минус x конец ар­гу­мен­та =t, t боль­ше или равно 0, тогда не­ра­вен­ство при­мет вид:

t боль­ше 2t в квад­ра­те минус 3, рав­но­силь­но 2t в квад­ра­те минус t минус 3 мень­ше 0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка t плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2t минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 0 рав­но­силь­но минус 1 мень­ше t мень­ше дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \undersett боль­ше или равно 0\mathop рав­но­силь­но 0 мень­ше t мень­ше дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Вернёмся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной:

0 мень­ше или равно ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4x в квад­ра­те минус x конец ар­гу­мен­та мень­ше дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше рав­но­силь­но 0 мень­ше или равно 4x в квад­ра­те минус x мень­ше дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Решим пер­вое не­ра­вен­ство:

0 мень­ше или равно 4x в квад­ра­те минус x рав­но­силь­но x левая круг­лая скоб­ка 4x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но x боль­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Решим вто­рое не­ра­вен­ство:

4x в квад­ра­те минус x мень­ше дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби рав­но­силь­но 16x в квад­ра­те минус 4x минус 9 мень­ше 0 рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 4 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 16 плюс 4 умно­жить на 16 умно­жить на 9 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 32 конец дроби мень­ше x мень­ше дробь: чис­ли­тель: 4 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 16 плюс 4 умно­жить на 16 умно­жить на 9 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 32 конец дроби \undersetx боль­ше или равно \tfrac14\mathop рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби мень­ше или равно x мень­ше дробь: чис­ли­тель: 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 37 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби .

2)  Пусть x мень­ше 0. До­мно­жим не­ра­вен­ство на x, по­лу­чим:

x ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 4x минус 1, зна­ме­на­тель: x конец дроби конец ар­гу­мен­та мень­ше 8x в квад­ра­те минус 2x минус 3 рав­но­силь­но минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4x в квад­ра­те минус x конец ар­гу­мен­та мень­ше 2 левая круг­лая скоб­ка 4x в квад­ра­те минус x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 3.

Пусть  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4x в квад­ра­те минус x конец ар­гу­мен­та =t, t боль­ше или равно 0, тогда не­ра­вен­ство при­мет вид:

 минус t мень­ше 2t в квад­ра­те минус 3 рав­но­силь­но 2t в квад­ра­те плюс t минус 3 боль­ше 0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка t минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2t плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний t мень­ше минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,t боль­ше 1 конец со­во­куп­но­сти . \undersett боль­ше или равно 0\mathop рав­но­силь­но t боль­ше 1.

Вернёмся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной:

 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4x в квад­ра­те минус x конец ар­гу­мен­та боль­ше 1 рав­но­силь­но 1 мень­ше 4x в квад­ра­те минус x рав­но­силь­но 4x в квад­ра­те минус x минус 1 боль­ше 0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x мень­ше дробь: чис­ли­тель: 1 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 17 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби ,x боль­ше дробь: чис­ли­тель: 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 17 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби конец со­во­куп­но­сти . \undersetx мень­ше 0\mathop рав­но­силь­но x мень­ше дробь: чис­ли­тель: 1 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 17 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби .

Ответ:  левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; дробь: чис­ли­тель: 1 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 17 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 37 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .


Аналоги к заданию № 1300: 1301 Все